Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 793

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 793

Является ли равномерно непрерывной функция f(x)=x2f(x)=x^2 на интервале:

а) (−l,l)(-l,l), где ll - любое, сколько угодно большое положительное число;

б) на интервале (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)?

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Пусть x1,x2∈(−l,l)x_1,x_2\in(-l,l). Тогда∣x12−x22∣=∣x1−x2∣∣x1+x2∣<2l∣x1−x2∣.|x_1^2-x_2^2|
    =
    |x_1-x_2||x_1+x_2|
    <
    2l|x_1-x_2|.    Для заданного ε>0\varepsilon>0 достаточно взятьδ=ε2l.\boxed{\delta=\frac{\varepsilon}{2l}}.Таким образом, x2x^2 равномерно непрерывна на каждом фиксированном конечном интервале (−l,l)(-l,l).

Проверка

б) На всей числовой прямой равномерной непрерывности нет. Возьмемxn=n,yn=n+1n.x_n=n,\qquad y_n=n+\frac1n.Тогда ∣xn−yn∣=1/n→0|x_n-y_n|=1/n\to0, но∣f(yn)−f(xn)∣=(n+1n)2−n2=2+1n2→2.|f(y_n)-f(x_n)|
=
\left(n+\frac1n\right)^2-n^2
=
2+\frac1{n^2}
\to2.Следовательно,x2 не является равномерно непрерывной на R.\boxed{x^2\text{ не является равномерно непрерывной на }\mathbb R}.
Демидович № 793 — решение