Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 790

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 790

Показать, что функцияf(x)=sin⁡x2f(x)=\sin x^2непрерывна и ограничена в бесконечном интервале −∞<x<+∞-\infty<x<+\infty, но не является равномерно непрерывной в этом интервале.

Доказательство

Идея

Функция sin⁡x2\sin x^2 непрерывна на всей числовой прямой и ограничена: ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1.
Возьмемxn=2πn+π2,yn=2πn+3π2.x_n=\sqrt{2\pi n+\frac{\pi}{2}},
\qquad
y_n=\sqrt{2\pi n+\frac{3\pi}{2}}.Тогдаf(xn)=1,f(yn)=−1.f(x_n)=1,\qquad f(y_n)=-1.При этом∣yn−xn∣=yn2−xn2yn+xn=πyn+xn→0.|y_n-x_n|
=
\frac{y_n^2-x_n^2}{y_n+x_n}
=
\frac{\pi}{y_n+x_n}
\to0.Таким образом, ∣xn−yn∣→0|x_n-y_n|\to0, но ∣f(xn)−f(yn)∣=2|f(x_n)-f(y_n)|=2.

Проверка

Следовательно,sin⁡x2 не является равномерно непрерывной на R.\boxed{\sin x^2\text{ не является равномерно непрерывной на }\mathbb R}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 790 — решение