Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 787

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 787

В положительном смысле сформулировать на языке «ε−δ\varepsilon-\delta» утверждение: функция f(x)f(x) непрерывна на некотором множестве (интервале, сегменте и т. п.), но не является равномерно непрерывной на этом множестве.

Решение

Пусть EE - данное множество.

Непрерывность функции ff на EE означает, что для каждой точки x0∈Ex_0\in E и каждого ε>0\varepsilon>0 существует число δ=δ(ε,x0)>0\delta=\delta(\varepsilon,x_0)>0 такое, что для всех x∈Ex\in E∣x−x0∣<δ⇒∣f(x)−f(x0)∣<ε.|x-x_0|<\delta
\quad\Rightarrow\quad
|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.

Проверка

Отрицание равномерной непрерывности записывается в положительном смысле следующим образом:∃ε0>0∀δ>0∃x1,x2∈E:∣x1−x2∣<δ,∣f(x1)−f(x2)∣≥ε0.\exists\varepsilon_0>0\quad
\forall\delta>0\quad
\exists x_1,x_2\in E:
\quad
|x_1-x_2|<\delta,
\quad
|f(x_1)-f(x_2)|\ge\varepsilon_0.Таким образом, в определении обычной непрерывности δ\delta может зависеть от точки x0x_0, а при равномерной непрерывности одно и то же δ(ε)\delta(\varepsilon) должно подходить одновременно для всех точек множества.