Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 807

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 807

Модулем непрерывности функции f(x)f(x) на промежутке (a,b)(a,b) называется функцияωf(δ)=sup⁡∣f(x1)−f(x2)∣,\omega_f(\delta)=\sup|f(x_1)-f(x_2)|,где x1x_1 и x2x_2 - любые точки из (a,b)(a,b), связанные условием ∣x1−x2∣≤δ|x_1-x_2|\le\delta.

Доказать, что для равномерной непрерывности функции f(x)f(x) на промежутке (a,b)(a,b) необходимо и достаточно, чтобыlim⁡δ→0ωf(δ)=0.\lim_{\delta\to0}\omega_f(\delta)=0.

Доказательство

Идея

Необходимость. Пусть ff равномерно непрерывна. Для любого ε>0\varepsilon>0 существует δ0>0\delta_0>0 такое, что из ∣x1−x2∣<δ0|x_1-x_2|<\delta_0 следует∣f(x1)−f(x2)∣<ε.|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.Возьмем 0<δ<δ00<\delta<\delta_0. Тогда для всех пар точек с ∣x1−x2∣≤δ|x_1-x_2|\le\delta выполняется ∣x1−x2∣<δ0|x_1-x_2|<\delta_0, поэтому∣f(x1)−f(x2)∣<ε.|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon.Переходя к точной верхней грани по всем таким парам, получаемωf(δ)≤ε.\omega_f(\delta)\le\varepsilon.Значит,lim⁡δ→0ωf(δ)=0.\lim_{\delta\to0}\omega_f(\delta)=0.
Достаточность. Пустьωf(δ)→0(δ→0).\omega_f(\delta)\to0\qquad(\delta\to0).Для заданного ε>0\varepsilon>0 выберем δ>0\delta>0 так, чтобы ωf(δ)<ε\omega_f(\delta)<\varepsilon. Тогда для любых x1,x2∈(a,b)x_1,x_2\in(a,b), удовлетворяющих ∣x1−x2∣<δ|x_1-x_2|<\delta,∣f(x1)−f(x2)∣≤ωf(δ)<ε.|f(x_1)-f(x_2)|
\le
\omega_f(\delta)
<
\varepsilon.Полученное δ\delta не зависит от выбора точек, поэтому функция равномерно непрерывна.

Проверка

Итак,f равномерно непрерывна  ⟺  lim⁡δ→0ωf(δ)=0.\boxed{
f\text{ равномерно непрерывна}
\iff
\lim_{\delta\to0}\omega_f(\delta)=0.
}

Что и требовалось доказать

Демидович № 807 — решение