Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 794

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию

Задача 794

f(x)=x4−x2(−1≤x≤1).f(x)=\frac{x}{4-x^2}\qquad(-1\le x\le1).

Решение

Проверка

Для x1,x2∈[−1,1]x_1,x_2\in[-1,1]∣x14−x12−x24−x22∣=∣(x1−x2)(4+x1x2)∣(4−x12)(4−x22).\begin{aligned}
\left|
\frac{x_1}{4-x_1^2}
-
\frac{x_2}{4-x_2^2}
\right|
&=
\frac{|(x_1-x_2)(4+x_1x_2)|}
{(4-x_1^2)(4-x_2^2)}.
\end{aligned}На данном сегменте ∣4+x1x2∣≤5|4+x_1x_2|\le5, а 4−xi2≥34-x_i^2\ge3. Поэтому∣f(x1)−f(x2)∣≤59∣x1−x2∣.|f(x_1)-f(x_2)|
\le
\frac59|x_1-x_2|.Для заданного ε>0\varepsilon>0 можно взятьδ=9ε5.\boxed{\delta=\frac{9\varepsilon}{5}}.Следовательно,f равномерно непрерывна на [−1,1].\boxed{f\text{ равномерно непрерывна на }[-1,1]}.
Демидович № 794 — решение