Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 786

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 786

Цилиндрическая муфта, ширина которой ε\varepsilon и длина δ\delta, надета на кривую y=x3y=\sqrt[3]{x} и скользит по ней так, что ось муфты остается параллельной оси OxOx. Чему должна быть равна длина δ\delta, чтобы эта муфта свободно прошла участок кривой, определяемый неравенством −10≤x≤10-10\le x\le10, если:

а) ε=1\varepsilon=1; б) ε=0,1\varepsilon=0{,}1; в) ε=0,001\varepsilon=0{,}001; г) ε\varepsilon произвольно мало?

Решение

Идея

Нужно подобрать δ\delta так, чтобы для любых x1,x2∈[−10,10]x_1,x_2\in[-10,10] из ∣x1−x2∣≤δ|x_1-x_2|\le\delta следовало∣x13−x23∣≤ε.\left|\sqrt[3]{x_1}-\sqrt[3]{x_2}\right|\le\varepsilon.
  1. 1
    Положим u=x13u=\sqrt[3]{x_1}, v=x23v=\sqrt[3]{x_2}. Тогда∣x1−x2∣=∣u3−v3∣=∣u−v∣(u2+uv+v2).|x_1-x_2|
    =
    |u^3-v^3|
    =
    |u-v|(u^2+uv+v^2).    При этом4(u2+uv+v2)−(u−v)2=3(u+v)2≥0,4(u^2+uv+v^2)-(u-v)^2=3(u+v)^2\ge0,поэтому u2+uv+v2≥14(u−v)2u^2+uv+v^2\ge\frac14(u-v)^2. Отсюда∣x1−x2∣≥14∣u−v∣3,|x_1-x_2|
    \ge
    \frac14|u-v|^3,    то есть∣x13−x23∣≤4∣x1−x2∣3.\left|\sqrt[3]{x_1}-\sqrt[3]{x_2}\right|
    \le
    \sqrt[3]{4|x_1-x_2|}.    Чтобы правая часть не превосходила ε\varepsilon, достаточно взятьδ=ε34.\boxed{\delta=\frac{\varepsilon^3}{4}}.
  2. 2

    Пункт а)

    При ε=1\varepsilon=1δ=14.\boxed{\delta=\frac14}.
  3. 3

    Пункт б)

    При ε=0,1\varepsilon=0{,}1δ=0,00025.\boxed{\delta=0{,}00025}.
  4. 4

    Пункт в)

    При ε=0,001\varepsilon=0{,}001δ=2,5⋅10−10.\boxed{\delta=2{,}5\cdot10^{-10}}.
  5. 5

    Пункт г)

    Для произвольного ε>0\varepsilon>0δ=ε34.\boxed{\delta=\frac{\varepsilon^3}{4}}.
Демидович № 786 — решение