Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 800

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию

Задача 800

f(x)=xsin⁡x(0≤x<+∞).f(x)=x\sin x\qquad(0\le x<+\infty).

Решение

Идея

Возьмемxn=nπ,yn=nπ+1n.x_n=n\pi,\qquad
y_n=n\pi+\frac1n.Тогда ∣xn−yn∣=1/n→0|x_n-y_n|=1/n\to0, а f(xn)=0f(x_n)=0. Для второй последовательности∣f(yn)∣=|f(y_n)|\mathrel{=}(nπ+1n)∣sin⁡(nπ+1n)∣=\left(n\pi+\frac1n\right)
\left|\sin\left(n\pi+\frac1n\right)\right|\mathrel{=}(nπ+1n)sin⁡1n.\left(n\pi+\frac1n\right)\sin\frac1n.Так как sin⁡(1/n)1/n→1\frac{\sin(1/n)}{1/n}\to1,∣f(yn)∣=(π+1n2)sin⁡(1/n)1/n→π.|f(y_n)|
=
\left(\pi+\frac1{n^2}\right)
\frac{\sin(1/n)}{1/n}
\to\pi.Таким образом, расстояние между аргументами стремится к нулю, а разность значений функции стремится к π\pi.

Проверка

Следовательно,xsin⁡x не является равномерно непрерывной на [0,+∞).\boxed{x\sin x\text{ не является равномерно непрерывной на }[0,+\infty)}.
Демидович № 800 — решение | Высшая математика — Профиматика