Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 796

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Исследовать на равномерную непрерывность в заданной области функцию

Задача 796

f(x)=sin⁡xx(0<x<π).f(x)=\frac{\sin x}{x}\qquad(0<x<\pi).

Решение

Идея

В точке x=0x=0 имеется конечный пределlim⁡x→0+sin⁡xx=1.\lim_{x\to0+}\frac{\sin x}{x}=1.Положим F(0)=1F(0)=1, а при 0<x≤π0<x\le\pi оставим F(x)=sin⁡xxF(x)=\frac{\sin x}{x}. Тогда FF непрерывна на сегменте [0,π][0,\pi], в частности F(π)=0F(\pi)=0.
По теореме Кантора FF равномерно непрерывна на [0,π][0,\pi]. Ее ограничение на любой подпромежуток также равномерно непрерывно, поэтомуsin⁡xx равномерно непрерывна на (0,π).\boxed{\frac{\sin x}{x}\text{ равномерно непрерывна на }(0,\pi)}.
Демидович № 796 — решение