Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 803

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 803

На сколько равных между собой отрезков достаточно разбить сегмент [1,10][1,10], чтобы колебание функции f(x)=x2f(x)=x^2 на каждом из этих отрезков было меньше 0,00010{,}0001?

Решение

Идея

Разобьем сегмент [1,10][1,10] на NN равных частей. Длина каждой части равнаh=9N.h=\frac9N.Функция x2x^2 возрастает на [1,10][1,10], причем наибольшее колебание возникает на последнем отрезке [10−h,10][10-h,10]. Оно равноωmax⁡=102−(10−h)2=20h−h2<20h.\omega_{\max}
=
10^2-(10-h)^2
=
20h-h^2
<
20h.Достаточно потребовать20h≤0,0001.20h\le0{,}0001.Подставляя h=9/Nh=9/N, получаем180N≤0,0001,\frac{180}{N}\le0{,}0001,откуда N≥1 800 000N\ge1\,800\,000.
При N=1 800 000N=1\,800\,000 имеем h=5⋅10−6h=5\cdot10^{-6}, и фактически20h−h2=0,0001−2,5⋅10−11<0,0001.20h-h^2
=
0{,}0001-2{,}5\cdot10^{-11}
<
0{,}0001.Поэтому достаточно разбить сегмент на1 800 000 равных отрезков.\boxed{1\,800\,000\text{ равных отрезков}}.
Демидович № 803 — решение