Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 805

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что если ограниченная монотонная функция

f(x)

непрерывна на конечном или бесконечном интервале

(a,b)

, то эта функция равномерно непрерывна на интервале

(a,b)

Опирается на задачу 791

Доказательство

Идея

Пусть для определенности

f

не убывает. Поскольку функция ограничена и монотонна, у нее существуют конечные пределы на концах интервала, в том числе при бесконечных концах:

A=\lim_{x\to a+0}f(x),\qquadB=\lim_{x\to b-0}f(x),

где при

a=-\infty

или

b=+\infty

понимаются соответствующие пределы на бесконечности.

1
Если оба конца $a,b$ конечны, определим $f(a)=A$ и $f(b)=B$ . Полученная функция непрерывна на сегменте $[a,b]$ , поэтому по теореме Кантора равномерно непрерывна. Следовательно, ее ограничение на $(a,b)$ также равномерно непрерывно.

Пусть теперь, например, $b=+\infty$ , а $a$ конечно. После задания $f(a)=A$ функция непрерывна на $[a,+\infty)$ и имеет конечный предел $B$ при $+\infty$ . По задаче 791 она равномерно непрерывна на $[a,+\infty)$ , а значит, и на $(a,+\infty)$ .
2
Случай $a=-\$infty$,\ $b$<+\infty$ сводится к предыдущему заменой $x$ на $-x$
Если $a=-\infty$ и $b=+\infty$ , то на каждом из промежутков $(-\infty,0]$ и $[0,+\infty)$ функция равномерно непрерывна по уже рассмотренному случаю. По рассуждению задачи 801 эти две части можно объединить, поэтому $f$ равномерно непрерывна на всей числовой прямой.
3
Для невозрастающей функции доказательство аналогично.

Проверка

Итак,

\boxed{f\text{ равномерно непрерывна на }(a,b)}.

Что и требовалось доказать