Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 805

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 805

Доказать, что если ограниченная монотонная функция f(x)f(x) непрерывна на конечном или бесконечном интервале (a,b)(a,b), то эта функция равномерно непрерывна на интервале (a,b)(a,b).

Опирается на

Доказательство

Пусть для определенности ff не убывает. Поскольку функция ограничена и монотонна, у нее существуют конечные пределы на концах интервала, в том числе при бесконечных концах:A=lim⁡x→a+0f(x),B=lim⁡x→b−0f(x),A=\lim_{x\to a+0}f(x),
\qquad
B=\lim_{x\to b-0}f(x),где при a=−∞a=-\infty или b=+∞b=+\infty понимаются соответствующие пределы на бесконечности.
Если оба конца a,ba,b конечны, определим f(a)=Af(a)=A и f(b)=Bf(b)=B. Полученная функция непрерывна на сегменте [a,b][a,b], поэтому по теореме Кантора равномерно непрерывна. Следовательно, ее ограничение на (a,b)(a,b) также равномерно непрерывно.

Пусть теперь, например, b=+∞b=+\infty, а aa конечно. После задания f(a)=Af(a)=A функция непрерывна на [a,+∞)[a,+\infty) и имеет конечный предел BB при +∞+\infty. По задаче она равномерно непрерывна на [a,+∞)[a,+\infty), а значит, и на (a,+∞)(a,+\infty).
Случай a=−∞a=-\infty, b<+∞b<+\infty сводится к предыдущему заменой xx на −x-x.

Если a=−∞a=-\infty и b=+∞b=+\infty, то на каждом из промежутков (−∞,0](-\infty,0] и [0,+∞)[0,+\infty) функция равномерно непрерывна по уже рассмотренному случаю. По рассуждению задачи 801 эти две части можно объединить, поэтому ff равномерно непрерывна на всей числовой прямой.
Если ff невозрастает, применим уже доказанный результат к функции
g=−fg=-f. Она ограничена, непрерывна и не убывает на том же интервале,
следовательно, равномерно непрерывна. Поскольку∣f(x)−f(y)∣=∣g(x)−g(y)∣,|f(x)-f(y)|=|g(x)-g(y)|,то равномерно непрерывна и функция ff.

Проверка

Итак,f равномерно непрерывна на (a,b).\boxed{f\text{ равномерно непрерывна на }(a,b)}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 805 — решение | Высшая математика — Профиматика