Раздел I. Введение в анализ — § 9. Равномерная непрерывность функции

Демидович — задача 789

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 789

Показать, что функцияf(x)=sin⁡πxf(x)=\sin\frac\pi xнепрерывна и ограничена в интервале (0,1)(0,1), но не является равномерно непрерывной в этом интервале.

Доказательство

Идея

При x∈(0,1)x\in(0,1) функция sin⁡πx\sin\frac{\pi}{x} непрерывна, а из ∣sin⁡t∣≤1|\sin t|\le1 имеем ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1, поэтому она ограничена.
Для проверки равномерной непрерывности возьмемxn=24n+1,yn=24n+3.x_n=\frac{2}{4n+1},
\qquad
y_n=\frac{2}{4n+3}.При достаточно больших nn обе точки лежат в (0,1)(0,1), а∣xn−yn∣=4(4n+1)(4n+3)→0.|x_n-y_n|
=
\frac4{(4n+1)(4n+3)}
\to0.При этомf(xn)=sin⁡(2πn+π2)=1,f(x_n)
=
\sin\left(2\pi n+\frac{\pi}{2}\right)
=
1,аf(yn)=sin⁡(2πn+3π2)=−1.f(y_n)
=
\sin\left(2\pi n+\frac{3\pi}{2}\right)
=
-1.Поэтому ∣f(xn)−f(yn)∣=2|f(x_n)-f(y_n)|=2 для всех nn.

Проверка

Следовательно,f(x)=sin⁡πx не является равномерно непрерывной на (0,1).\boxed{f(x)=\sin\frac{\pi}{x}\text{ не является равномерно непрерывной на }(0,1)}.

Что и требовалось доказать

Демидович № 789 — решение | Высшая математика — Профиматика