Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 632

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь предыдущей теоремой, найти предел

\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n\left(\sqrt[3]{1+\frac{k}{n^2}}-1\right)

Опирается на

Ответ:

\frac16

Решение

Положим

v=\sqrt[3]{1+u}

. Из

(v-1)(v^2+v+1)=u

получаем

\frac{\sqrt[3]{1+u}-1}{u/3}=\frac3{v^2+v+1}\longrightarrow1.

Положим

u_{kn}=k/n^2

. Тогда

0<u_{kn}\leqslant\frac1n\longrightarrow0

равномерно по

k=1,\ldots,n

. По теореме из задачи № искомый
предел совпадает с пределом суммы величин

u_{kn}/3

\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{k}{3n^2} &=\lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)}{6n^2} =\frac16\end{aligned}