Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 630

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 630

Найти пределlim⁡n→∞(cos⁡x2cos⁡x4⋯cos⁡x2n)\lim_{n\to\infty}
\left(\cos\frac x2\cos\frac x4\cdots\cos\frac{x}{2^n}\right)
Ответ:{sin⁡xx,x≠01,x=0\begin{cases}
\dfrac{\sin x}{x}, & x\ne0\\
1, & x=0
\end{cases}

Решение

Из формулы двойного углаsin⁡u=2sin⁡u2cos⁡u2\sin u=2\sin\frac u2\cos\frac u2после nn последовательных применений получаемsin⁡x=2nsin⁡x2n∏k=1ncos⁡x2k\sin x
=2^n\sin\frac{x}{2^n}
\prod_{k=1}^n\cos\frac{x}{2^k}Если x≠0x\ne0, то при достаточно большом nn имеем 0<∣x∣/2n<π0<|x|/2^n<\pi; значит, sin⁡(x/2n)≠0\sin(x/2^n)\ne0 и деление допустимо:∏k=1ncos⁡x2k=\displaystyle \prod_{k=1}^n\cos\frac{x}{2^k}\mathrel{=}sin⁡x2nsin⁡(x/2n)=\displaystyle \frac{\sin x}{2^n\sin(x/2^n)}\mathrel{=}sin⁡xx x/2nsin⁡(x/2n)⟶sin⁡xx\displaystyle \frac{\sin x}{x}\,
\frac{x/2^n}{\sin(x/2^n)}
\longrightarrow\frac{\sin x}{x}При x=0x=0 каждый множитель равен единице, что согласуется с
непрерывным продолжением найденной формулы