Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 630

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{n\to\infty} \left(\cos\frac x2\cos\frac x4\cdots\cos\frac{x}{2^n}\right)

Ответ:

\begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x\ne0\\ 1, & x=0 \end{cases}

Решение

Из формулы двойного угла

\sin u=2\sin\frac u2\cos\frac u2

после

n

последовательных применений получаем

\sin x =2^n\sin\frac{x}{2^n} \prod_{k=1}^n\cos\frac{x}{2^k}

Если

x\ne0

, то

\begin{aligned} \prod_{k=1}^n\cos\frac{x}{2^k} &=\frac{\sin x}{2^n\sin(x/2^n)}=\\ &=\frac{\sin x}{x}\, \frac{x/2^n}{\sin(x/2^n)} \longrightarrow\frac{\sin x}{x}\end{aligned}

При

x=0

каждый множитель равен единице, что согласуется с
непрерывным продолжением найденной формулы