Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 640

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 640

Для приближённого решения уравнения Кеплераx−εsin⁡x=m,0<ε<1x-\varepsilon\sin x=m,
\qquad
0<\varepsilon<1полагаютx0=m,xn=m+εsin⁡xn−1n=1,2,…x_0=m,
\qquad
x_n=m+\varepsilon\sin x_{n-1}
\qquad
n=1,2,\ldotsДоказать, что существует ξ=lim⁡n→∞xn\xi=\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n
и число ξ\xi является единственным корнем уравнения
Доказано:Предел последовательности существует:lim⁡n→∞xn=ξ\lim_{n\to\infty}x_n=\xiЧисло ξ\xi является единственным корнем уравненияξ−εsin⁡ξ=m\xi-\varepsilon\sin\xi=m

Доказательство

По формуле разности синусов и оценке ∣sin⁡t∣⩽∣t∣|\sin t|\leqslant|t|∣sin⁡u−sin⁡v∣=2∣cos⁡u+v2sin⁡u−v2∣⩽2∣u−v∣2=∣u−v∣.|\sin u-\sin v|
=2\left|\cos\frac{u+v}2\sin\frac{u-v}2\right|
\leqslant2\frac{|u-v|}2=|u-v|.Тогда∣xn+1−xn∣=ε∣sin⁡xn−sin⁡xn−1∣⩽⩽ε∣xn−xn−1∣⩽εn∣x1−x0∣\begin{aligned}
|x_{n+1}-x_n|
&=\varepsilon|\sin x_n-\sin x_{n-1}|\leqslant\\
&\leqslant\varepsilon|x_n-x_{n-1}|
\leqslant\varepsilon^n|x_1-x_0|
\end{aligned}Для p>qp>q отсюда следует∣xp−xq∣⩽∑j=qp−1∣xj+1−xj∣⩽⩽∣x1−x0∣∑j=q∞εj=∣x1−x0∣εq1−ε\begin{aligned}
|x_p-x_q|
&\leqslant\sum_{j=q}^{p-1}|x_{j+1}-x_j|\leqslant\\
&\leqslant|x_1-x_0|
\sum_{j=q}^{\infty}\varepsilon^j
=|x_1-x_0|\frac{\varepsilon^q}{1-\varepsilon}
\end{aligned}Правая часть стремится к нулю при q→∞q\to\infty, поэтому
последовательность фундаментальна и имеет предел ξ\xi. Переходя к
пределу в рекуррентной формуле, получаемξ=m+εsin⁡ξ\xi=m+\varepsilon\sin\xiто есть ξ\xi является корнем уравнения Кеплера
Если uu и vv — два корня, то∣u−v∣=ε∣sin⁡u−sin⁡v∣⩽ε∣u−v∣|u-v|
=\varepsilon|\sin u-\sin v|
\leqslant\varepsilon|u-v|Так как 0<ε<10<\varepsilon<1, это возможно только при u=vu=v

Что и требовалось доказать

Демидович № 640 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика