Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 633

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь предыдущей теоремой, найти предел

Задача 633

lim⁡n→∞∑k=1nsin⁡kan2\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sin\frac{ka}{n^2}
Ответ:a2\frac a2При a<0a<0 тот же результат следует из нечётности синуса: достаточно
применить доказанный случай к числу −a>0-a>0 и изменить знак

Решение

Если a=0a=0, все слагаемые равны нулю. Пусть a>0a>0. Для u→0u\to0
имеем sin⁡u/u→1\sin u/u\to1. Аргументы
ukn=kan2u_{kn}=\frac{ka}{n^2}стремятся к нулю равномерно по kk, поскольку∣ukn∣⩽∣a∣n|u_{kn}|\leqslant\frac{|a|}{n}Поэтому сумму синусов можно заменить суммой их аргументов:lim⁡n→∞∑k=1nsin⁡kan2=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sin\frac{ka}{n^2}\mathrel{=}lim⁡n→∞an2∑k=1nk=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a}{n^2}
\sum_{k=1}^n k\mathrel{=}lim⁡n→∞a(n+1)2n=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a(n+1)}{2n}\mathrel{=}a2\displaystyle \frac a2