Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 633

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь предыдущей теоремой, найти предел

\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sin\frac{ka}{n^2}

Ответ:

\frac a2

При

a<0

тот же результат следует из нечётности синуса: достаточно
применить доказанный случай к числу

-a>0

и изменить знак

Решение

Идея

Если

a=0

, все слагаемые равны нулю. Пусть

a>0

. Для

u\to0

имеем

\sin u\sim u

. Аргументы

u_{kn}=\frac{ka}{n^2}

стремятся к нулю равномерно по

k

, поскольку

|u_{kn}|\leqslant\frac{|a|}{n}

Поэтому сумму синусов можно заменить суммой их аргументов:

\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sin\frac{ka}{n^2} &=\lim_{n\to\infty}\frac{a}{n^2} \sum_{k=1}^n k=\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{a(n+1)}{2n} =\frac a2\end{aligned}