Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 628

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 628

Найти пределlim⁡n→∞[xn+1(n+1)!+xn+2(n+2)!+⋯+x2n(2n)!]\lim_{n\to\infty}\left[
\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\frac{x^{n+2}}{(n+2)!}
+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}
\right]
Ответ:00

Решение

Число xx считаем фиксированным. Для n>∣x∣n>|x| оценим модуль суммы:
∣∑k=n+12nxkk!∣⩽∣x∣n+1(n+1)!(1+∣x∣n+2+∣x∣2(n+2)2+⋯ )=∣x∣n+1(n+1)!11−∣x∣/(n+2)\begin{aligned}
\left|\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{x^k}{k!}\right|
&\leqslant\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}
\left(1+\frac{|x|}{n+2}
+\frac{|x|^2}{(n+2)^2}+\cdots\right)\\
&=\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}
\frac1{1-|x|/(n+2)}
\end{aligned}Здесь каждый следующий знаменатель был заменён меньшим числом n+2n+2,
поэтому получена верхняя оценка. Первый множитель стремится к нулю: начиная с n+2⩾2∣x∣n+2\geqslant2|x| отношение соседних членов ∣x∣n+1/(n+1)!|x|^{n+1}/(n+1)! не больше 1/21/2, так что они убывают не медленнее геометрической последовательности. При x=0x=0 они равны нулю сразу. Второй множитель стремится к единице. Следовательно, вся сумма стремится к нулю
Демидович № 628 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика