Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 628

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{n\to\infty}\left[ \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\frac{x^{n+2}}{(n+2)!} +\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!} \right]

Ответ:

0

Решение

Идея

Число

x

считаем фиксированным. Для

n>|x|

оценим модуль суммы:

Проверка

\begin{aligned} \left|\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{x^k}{k!}\right| &\leqslant\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \left(1+\frac{|x|}{n+2} +\frac{|x|^2}{(n+2)^2}+\cdots\right)=\\ &=\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} \frac1{1-|x|/(n+2)}\end{aligned}

Здесь каждый следующий знаменатель был заменён меньшим числом

n+2

,
поэтому получена верхняя оценка. Первый множитель стремится к нулю, а
второй — к единице. Следовательно, вся сумма стремится к нулю