Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 631

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 631

Пустьlim⁡x→0φ(x)ψ(x)=1\lim_{x\to0}\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=1где ψ(x)>0\psi(x)>0, αmn≠0\alpha_{mn}\ne0 и
αmn⇒0\alpha_{mn}\Rightarrow0 при n→∞n\to\infty,
то есть для любого δ>0\delta>0 при всех достаточно больших nn
выполняется0<∣αmn∣<δm=1,2,…,n0<|\alpha_{mn}|<\delta
\qquad
m=1,2,\ldots,nДоказать, чтоlim⁡n→∞[φ(α1n)+⋯+φ(αnn)]==lim⁡n→∞[ψ(α1n)+⋯+ψ(αnn)]\begin{aligned}
&\lim_{n\to\infty}
[\varphi(\alpha_{1n})+\cdots+\varphi(\alpha_{nn})]=\\
&\qquad=\lim_{n\to\infty}
[\psi(\alpha_{1n})+\cdots+\psi(\alpha_{nn})]
\end{aligned}если предел в правой части существует
Доказано:lim⁡n→∞∑m=1nφ(αmn)=lim⁡n→∞∑m=1nψ(αmn)\lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^n\varphi(\alpha_{mn})
=\lim_{n\to\infty}\sum_{m=1}^n\psi(\alpha_{mn})

Доказательство

Из соотношения φ(x)/ψ(x)→1\varphi(x)/\psi(x)\to1 следует: для любого
ε∈(0,1)\varepsilon\in(0,1) существует δ>0\delta>0, для которого
(1−ε)ψ(x)⩽φ(x)⩽(1+ε)ψ(x)0<∣x∣<δ(1-\varepsilon)\psi(x)
\leqslant\varphi(x)
\leqslant(1+\varepsilon)\psi(x)
\qquad
0<|x|<\deltaТак как все числа одной строки α1n,…,αnn\alpha_{1n},\ldots,\alpha_{nn}
стремятся к нулю равномерно по первому индексу, при достаточно большом
nn эти неравенства выполняются одновременно для всех
m=1,…,nm=1,\ldots,n. После сложения получаем(1−ε)∑m=1nψ(αmn)⩽∑m=1nφ(αmn)⩽⩽(1+ε)∑m=1nψ(αmn)\begin{aligned}
(1-\varepsilon)\sum_{m=1}^n\psi(\alpha_{mn})
&\leqslant\sum_{m=1}^n\varphi(\alpha_{mn})\leqslant\\
&\leqslant(1+\varepsilon)
\sum_{m=1}^n\psi(\alpha_{mn})
\end{aligned}Если правая сумма имеет конечный предел SS, то∣∑m=1nφ(αmn)−∑m=1nψ(αmn)∣⩽ε∑m=1nψ(αmn)\left|\sum_{m=1}^n\varphi(\alpha_{mn})
-\sum_{m=1}^n\psi(\alpha_{mn})\right|
\leqslant
\varepsilon\sum_{m=1}^n\psi(\alpha_{mn})Обозначим правую сумму через SnS_n. Так как Sn→S⩾0S_n\to S\geqslant0, при больших nn имеем Sn⩽S+1S_n\leqslant S+1. Для любой точности η>0\eta>0 выбираем 0<ε<min⁡(1,η/[2(S+1)])0<\varepsilon<\min(1,\eta/[2(S+1)]), а затем nn так, чтобы ∣Sn−S∣<η/2|S_n-S|<\eta/2 и выполнялась полученная оценка. Тогда∣∑m=1nφ(αmn)−S∣⩽εSn+∣Sn−S∣<η.\left|\sum_{m=1}^n\varphi(\alpha_{mn})-S\right|
\leqslant\varepsilon S_n+|S_n-S|<\eta.Это доказывает существование нужного предела и его равенство SS. Если S=+∞S=+\infty, двусторонняя оценка
показывает, что левая сумма также стремится к +∞+\infty

Что и требовалось доказать