Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 634

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь предыдущей теоремой, найти предел

Задача 634

lim⁡n→∞∑k=1n(akn2−1),a>0\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n
\left(a^{\frac{k}{n^2}}-1\right),
\qquad a>0
Ответ:ln⁡a2\frac{\ln a}{2}

Решение

При u→0u\to0au−1=euln⁡a−1∼uln⁡aa^u-1=e^{u\ln a}-1\sim u\ln aДля ukn=k/n2u_{kn}=k/n^2 выполняется
0<ukn⩽1/n0<u_{kn}\leqslant1/n. Если a>1a>1, обе эквивалентные величины
положительны, поэтому теорему №631 можно применить одновременно ко всем
слагаемым. Если 0<a<10<a<1, применяем её к положительным величинам
1−au∼−uln⁡a1-a^u\sim-u\ln a, после чего меняем знак суммы. В обоих случаях
получаемlim⁡n→∞∑k=1n(ak/n2−1)=lim⁡n→∞ln⁡an2∑k=1nk=ln⁡a2\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n
\left(a^{k/n^2}-1\right)
&=\lim_{n\to\infty}
\frac{\ln a}{n^2}\sum_{k=1}^n k
=\frac{\ln a}{2}
\end{aligned}При a=1a=1 обе части равны нулю
Демидович № 634 — решение и ответ