Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 635

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь предыдущей теоремой, найти предел

\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{k}{n^2}\right)

Опирается на задачу 631

Ответ:

\sqrt e

Решение

Идея

Обозначим произведение через

P_n

и прологарифмируем его:

Проверка

\ln P_n=\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)

Так как

\ln(1+u)\sim u

при

u\to0

, а

0<k/n^2\leqslant1/n

, по задаче №631

\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\ln P_n &=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2} \sum_{k=1}^n k =\frac12\end{aligned}

Следовательно,

P_n\longrightarrow e^{1/2}