Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 635

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь предыдущей теоремой, найти предел

Задача 635

lim⁡n→∞∏k=1n(1+kn2)\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n
\left(1+\frac{k}{n^2}\right)

Опирается на

Ответ:e\sqrt e

Решение

Обозначим произведение через PnP_n и прологарифмируем его:
ln⁡Pn=∑k=1nln⁡(1+kn2)\ln P_n=\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac{k}{n^2}\right)Так как ln⁡(1+u)/u→1\ln(1+u)/u\to1 при u→0u\to0, а
0<k/n2⩽1/n0<k/n^2\leqslant1/n, по задаче №lim⁡n→∞ln⁡Pn=lim⁡n→∞1n2∑k=1nk=lim⁡n→∞n(n+1)2n2=12\begin{aligned}
\lim_{n\to\infty}\ln P_n
&=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}
\sum_{k=1}^n k
=\lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac12
\end{aligned}Следовательно,Pn⟶e1/2P_n\longrightarrow e^{1/2}