Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 638

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 638

Последовательность функцийyn=yn(x),0⩽x⩽1y_n=y_n(x),
\qquad
0\leqslant x\leqslant1определяется следующим образом:а) y1=x2,yn=x2−yn−122n=2,3,…\text{а) }y_1=\frac x2,
\qquad
y_n=\frac x2-\frac{y_{n-1}^2}{2}
\quad n=2,3,\ldotsб) y1=x2,yn=x2+yn−122n=2,3,…\text{б) }y_1=\frac x2,
\qquad
y_n=\frac x2+\frac{y_{n-1}^2}{2}
\quad n=2,3,\ldotsНайти lim⁡n→∞yn\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n
Ответ:lim⁡n→∞yn=1+x−1\lim_{n\to\infty}y_n=\sqrt{1+x}-1lim⁡n→∞yn=1−1−x\lim_{n\to\infty}y_n=1-\sqrt{1-x}

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Рассмотрим отображениеT−(y)=x−y22T_-(y)=\frac{x-y^2}{2}Если 0⩽y⩽x/20\leqslant y\leqslant x/2, то при 0⩽x⩽10\leqslant x\leqslant10⩽x−x2/42⩽T−(y)⩽x20\leqslant\frac{x-x^2/4}{2}
    \leqslant T_-(y)\leqslant\frac x2    Поэтому все члены последовательности лежат на отрезке [0,x/2][0,x/2].
    Для любых u,vu,v из этого отрезка∣T−(u)−T−(v)∣=∣u+v∣2∣u−v∣⩽12∣u−v∣|T_-(u)-T_-(v)|
    =\frac{|u+v|}{2}|u-v|
    \leqslant\frac12|u-v|    В частности,∣yn+1−yn∣⩽12n−1∣y2−y1∣|y_{n+1}-y_n|
    \leqslant\frac1{2^{n-1}}|y_2-y_1|    Поэтому при p>q⩾2p>q\geqslant2∣yp−yq∣⩽∑n=qp−1∣yn+1−yn∣⩽∣y2−y1∣2q−2|y_p-y_q|
    \leqslant\sum_{n=q}^{p-1}|y_{n+1}-y_n|
    \leqslant\frac{|y_2-y_1|}{2^{q-2}}    Правая часть стремится к нулю при q→∞q\to\infty, поэтому
    последовательность фундаментальна и сходится. Её предел удовлетворяетL=x2−L22L=\frac x2-\frac{L^2}{2}то есть L2+2L−x=0L^2+2L-x=0. Из двух корней только
    −1+1+x-1+\sqrt{1+x} неотрицателен

Проверка

б) Пустьr=1−1−xr=1-\sqrt{1-x}Это меньший неотрицательный корень уравненияr=x2+r22r=\frac x2+\frac{r^2}{2}Кроме того,y1=x2⩽ry_1=\frac x2\leqslant rОтображение T+(y)=x+y22T_+(y)=\dfrac{x+y^2}{2} возрастает. Поэтому из
0⩽yn⩽r0\leqslant y_n\leqslant r следует0⩽yn+1=T+(yn)⩽T+(r)=r0\leqslant y_{n+1}=T_+(y_n)\leqslant T_+(r)=rТакже y2⩾y1y_2\geqslant y_1, а из возрастания T+T_+ следует по индукции
yn+1⩾yny_{n+1}\geqslant y_n. Последовательность возрастает и ограничена
сверху, поэтому имеет предел. Переход к пределу даёт корни
1±1−x1\pm\sqrt{1-x}, но предел не превосходит rr, следовательно, равен
именно rr
Демидович № 638 — решение и ответ