Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 642

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 642

Пустьf(x)=sin⁡1xf(x)=\sin\frac1xДоказать, что для любого числа α\alpha, удовлетворяющего условию
−1⩽α⩽1-1\leqslant\alpha\leqslant1, можно выбрать последовательность
xn→0x_n\to0 такую, чтоlim⁡n→∞f(xn)=α\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\alpha
Доказано:Подходит последовательностьxn=12πn+arcsin⁡αx_n=\frac1{2\pi n+\arcsin\alpha}для которой f(xn)=αf(x_n)=\alpha при каждом nn

Доказательство

Проверка

Выберем числоθ=arcsin⁡α\theta=\arcsin\alphaТогда −π/2⩽θ⩽π/2-\pi/2\leqslant\theta\leqslant\pi/2 и sin⁡θ=α\sin\theta=\alpha.
Для n=1,2,…n=1,2,\ldots положимxn=12πn+θx_n=\frac1{2\pi n+\theta}Знаменатель не равен нулю, xn→0x_n\to0, и для каждого nnf(xn)=sin⁡(2πn+θ)=sin⁡θ=αf(x_n)
=\sin(2\pi n+\theta)=\sin\theta=\alphaСледовательно, предел этой постоянной последовательности значений равен
α\alpha

Что и требовалось доказать

Демидович № 642 — решение и ответ