Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 641

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 641

Если ωh[f]\omega_h[f] есть колебание функции f(x)f(x) на сегменте
∣x−ξ∣⩽h|x-\xi|\leqslant h, h>0h>0, то числоω0[f]=lim⁡h→0ωh[f]\omega_0[f]=\lim_{h\to0}\omega_h[f]называется колебанием функции f(x)f(x) в точке ξ\xi

Определить колебание функции f(x)f(x) в точке x=0x=0, если f(0)=0f(0)=0
и при x≠0x\ne0а) f(x)=sin⁡1x\text{а) }f(x)=\sin\frac1xб) f(x)=1x2cos⁡21x\text{б) }f(x)=\frac1{x^2}\cos^2\frac1xв) f(x)=x(2+sin⁡1x)\text{в) }f(x)=x\left(2+\sin\frac1x\right)г) f(x)=1πarctg⁡1x\text{г) }f(x)=\frac1\pi\operatorname{arctg}\frac1xд) f(x)=∣sin⁡x∣x\text{д) }f(x)=\frac{|\sin x|}{x}е) f(x)=11+e1/x\text{е) }f(x)=\frac1{1+e^{1/x}}ж) f(x)=(1+∣x∣)1/x\text{ж) }f(x)=(1+|x|)^{1/x}
Ответ:а) ω0[f]=2\omega_0[f]=2б) ω0[f]=+∞\omega_0[f]=+\inftyв) ω0[f]=0\omega_0[f]=0г) ω0[f]=1\omega_0[f]=1д) ω0[f]=2\omega_0[f]=2е) ω0[f]=1\omega_0[f]=1ж) ω0[f]=e\omega_0[f]=e

Решение

Напомним, что колебание на сегменте равно разности верхней и нижней
граней функции на этом сегменте

Пункт а)

На последовательностях xn=1/(π/2+2πn)x_n=1/(\pi/2+2\pi n) и zn=1/(3π/2+2πn)z_n=1/(3\pi/2+2\pi n), стремящихся к нулю, функция равна соответственно 11 и −1-1. Оба значения встречаются в любой окрестности нуля. Значит, её верхняя грань равна 11, нижняя
грань равна −1-1, а колебание равно 22

Пункт б)

Функция неотрицательна. В любой окрестности нуля существуют
точки xk=1/(kπ)x_k=1/(k\pi), в которыхf(xk)=k2π2⟶+∞f(x_k)=k^2\pi^2\longrightarrow+\inftyСледовательно, функция не ограничена сверху ни в одной окрестности нуля

Пункт в)

Поскольку∣f(x)∣⩽3∣x∣|f(x)|\leqslant3|x|на сегменте ∣x∣⩽h|x|\leqslant h все значения функции лежат между
−3h-3h и 3h3h. Поэтому0⩽ωh[f]⩽6h⟶00\leqslant\omega_h[f]\leqslant6h\longrightarrow0

Пункт г)

Односторонние пределы равныlim⁡x→0−1πarctg⁡1x=−12,lim⁡x→0+1πarctg⁡1x=12\lim_{x\to0^-}\frac1\pi\operatorname{arctg}\frac1x=-\frac12,
\qquad
\lim_{x\to0^+}\frac1\pi\operatorname{arctg}\frac1x=\frac12В каждом сегменте [−h,h][-h,h] нижняя грань равна −1/2-1/2, а верхняя —
1/21/2

Пункт д)

При x>0x>0∣sin⁡x∣x⟶1\frac{|\sin x|}{x}\longrightarrow1а при x<0x<0∣sin⁡x∣x⟶−1\frac{|\sin x|}{x}\longrightarrow-1Следовательно, верхняя и нижняя грани на сужающихся сегментах стремятся
к 11 и −1-1

Пункт е)

Имеемlim⁡x→0−11+e1/x=1,lim⁡x→0+11+e1/x=0\lim_{x\to0^-}\frac1{1+e^{1/x}}=1,
\qquad
\lim_{x\to0^+}\frac1{1+e^{1/x}}=0Кроме того, f(0)=0f(0)=0. Поэтому нижняя грань на каждом рассматриваемом
сегменте равна нулю, а верхние грани стремятся к единице

Пункт ж)

Справа от нуляlim⁡x→0+(1+x)1/x=e\lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/x}=eСлева, поскольку ∣x∣=−x|x|=-x, получаемlim⁡x→0−(1+∣x∣)1/x=lim⁡x→0−(1−x)1/x=e−1\begin{aligned}
\lim_{x\to0^-}(1+|x|)^{1/x}
&=\lim_{x\to0^-}(1-x)^{1/x}
=e^{-1}
\end{aligned}Однако в самой точке f(0)=0f(0)=0, поэтому нижняя грань на каждом сегменте
равна нулю. Верхние грани стремятся к ee