Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 641

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 641

Если

\omega_h[f]

есть колебание функции

f(x)

на сегменте

|x-\xi|\leqslant h

h>0

, то число

\omega_0[f]=\lim_{h\to0}\omega_h[f]

называется колебанием функции

f(x)

в точке

\xi

Определить колебание функции

f(x)

в точке

x=0

, если

f(0)=0

и при

x\ne0

\text{а) }f(x)=\sin\frac1x

\text{б) }f(x)=\frac1{x^2}\cos^2\frac1x

\text{в) }f(x)=x\left(2+\sin\frac1x\right)

\text{г) }f(x)=\frac1\pi\operatorname{arctg}\frac1x

\text{д) }f(x)=\frac{|\sin x|}{x}

\text{е) }f(x)=\frac1{1+e^{1/x}}

\text{ж) }f(x)=(1+|x|)^{1/x}

Ответ:

\omega_0[f]=2

\omega_0[f]=+\infty

\omega_0[f]=0

\omega_0[f]=1

\omega_0[f]=2

\omega_0[f]=1

\omega_0[f]=e

Решение

Идея

Напомним, что колебание на сегменте равно разности верхней и нижней
граней функции на этом сегменте

1
Пункт а)
В любой окрестности нуля функция $\sin(1/x)$ принимает
значения $1$ и $-1$ . Поэтому её верхняя грань равна $1$ , нижняя
грань равна $-1$ , а колебание равно $2$
2
Пункт б)
Функция неотрицательна. В любой окрестности нуля существуют
точки $x_k=1/(k\pi)$ , в которых $f(x_k)=k^2\pi^2\longrightarrow+\infty$ Следовательно, функция не ограничена сверху ни в одной окрестности нуля
3
Пункт в)
Поскольку $|f(x)|\leqslant3|x|$ на сегменте $|x|\leqslant h$ все значения функции лежат между
$-3h$ и $3h$ . Поэтому $0\leqslant\omega_h[f]\leqslant6h\longrightarrow0$
4
Пункт г)
Односторонние пределы равны $\lim_{x\to0^-}\frac1\pi\operatorname{arctg}\frac1x=-\frac12, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac1\pi\operatorname{arctg}\frac1x=\frac12$ В каждом сегменте $[-h,h]$ нижняя грань равна $-1/2$ , а верхняя —
$1/2$
5
Пункт д)
При $x>0$ $\frac{|\sin x|}{x}\longrightarrow1$ а при $x<0$ $\frac{|\sin x|}{x}\longrightarrow-1$ Следовательно, верхняя и нижняя грани на сужающихся сегментах стремятся
к $1$ и $-1$
6
Пункт е)
Имеем $\lim_{x\to0^-}\frac1{1+e^{1/x}}=1, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac1{1+e^{1/x}}=0$ Кроме того, $f(0)=0$ . Поэтому нижняя грань на каждом рассматриваемом
сегменте равна нулю, а верхние грани стремятся к единице
7
Пункт ж)
Справа от нуля $\lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/x}=e$ Слева, поскольку $|x|=-x$ , получаем $\begin{aligned} \lim_{x\to0^-}(1+|x|)^{1/x} &=\lim_{x\to0^-}(1-x)^{1/x} =e^{-1}\end{aligned}$ Однако в самой точке $f(0)=0$ , поэтому нижняя грань на каждом сегменте
равна нулю. Верхние грани стремятся к $e$