Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 643

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 643

Определить

l=\varliminf_{x\to0}f(x) \quad\text{и}\quad L=\varlimsup_{x\to0}f(x)

если

\text{а) }f(x)=\sin^2\frac1x+\frac2\pi\operatorname{arctg}\frac1x

\text{б) }f(x)=(2-x^2)\cos\frac1x

\text{в) }f(x)= \left(1+\cos^2\frac1x\right)^{\sec^2(1/x)}

Ответ:

l=-1, \qquad L=2

l=-2, \qquad L=2

l=2, \qquad L=e

Решение

1
Пункт а)
При $x\to0^+$ $\frac2\pi\operatorname{arctg}\frac1x\longrightarrow1$ а $\sin^2(1/x)$ имеет все частичные предельные значения от $0$ до
$1$ . Поэтому справа нижний и верхний пределы равны $1$ и $2$

При $x\to0^-$ $\frac2\pi\operatorname{arctg}\frac1x\longrightarrow-1$ поэтому слева нижний и верхний пределы равны $-1$ и $0$ . Для
двустороннего предельного перехода выбираем наименьшее и наибольшее из
этих значений
2
Пункт б)
Множитель $2-x^2$ стремится к $2$ , а функция
$\cos(1/x)$ колеблется между $-1$ и $1$ . В частности, существуют
последовательности, стремящиеся к нулю, на которых косинус равен
соответственно $-1$ и $1$ . Поэтому крайние частичные пределы равны
$-2$ и $2$
3
Пункт в)
Положим $t=\cos^2\frac1x$ В точках области определения $0<t\leqslant1$ , и функция принимает вид $g(t)=(1+t)^{1/t}$ По неравенству Бернулли при $1/t\geqslant1$ $(1+t)^{1/t}\geqslant1+\frac1t\,t=2$ С другой стороны, из $\ln(1+t)<t$ следует $g(t)<e$ . Значение $2$
достигается при $t=1$ , а при $t\to0^+$ $(1+t)^{1/t}\longrightarrow e$ Значения $t=1$ и сколь угодно малые положительные значения возникают
при последовательностях $x\to0$