Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 644

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Определить

l=\varliminf_{x\to\infty}f(x) \quad\text{и}\quad L=\varlimsup_{x\to\infty}f(x)

если

\text{а) }f(x)=\sin x

\text{б) }f(x)=x^2\cos^2x

\text{в) }f(x)=2^{\sin x^2}

\text{г) }f(x)=\frac{x}{1+x^2\sin^2x} \qquad x\geqslant0

Ответ:

l=-1, \qquad L=1

l=0, \qquad L=+\infty

l=\frac12, \qquad L=2

l=0, \qquad L=+\infty

Решение

1
Пункт а)
Функция $\sin x$ принимает значения $-1$ и $1$ на
последовательностях, стремящихся к бесконечности, и всегда лежит между
этими числами
2
Пункт б)
Функция неотрицательна. Для $x_n=\frac\pi2+\pi n$ имеем $f(x_n)=0$ , а для $z_n=\pi n$ $f(z_n)=\pi^2n^2\longrightarrow+\infty$
3
Пункт в)
Поскольку $-1\leqslant\sin x^2\leqslant1$ , выполняется $\frac12\leqslant2^{\sin x^2}\leqslant2$ На последовательностях $x_n=\sqrt{\frac{3\pi}{2}+2\pi n}, \qquad z_n=\sqrt{\frac\pi2+2\pi n}$ синус равен соответственно $-1$ и $1$ , поэтому обе границы
достигаются бесконечно много раз
4
Пункт г)
При $x\geqslant0$ функция неотрицательна. Для $x_n=\frac\pi2+\pi n$ получаем $f(x_n)=\frac{x_n}{1+x_n^2}\longrightarrow0$ а для $z_n=\pi n$ $f(z_n)=z_n\longrightarrow+\infty$