Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 636

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь предыдущей теоремой, найти предел

Задача 636

lim⁡n→∞∏k=1ncos⁡kann\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n
\cos\frac{ka}{n\sqrt n}
Ответ:e−a26e^{-\frac{a^2}{6}}

Решение

Обозначим произведение через PnP_n. Если a=0a=0, то Pn=1P_n=1 при
каждом nn, поэтому предел равен 1=e01=e^0. Далее считаем a≠0a\ne0. Для
больших nn все множители положительны, поскольку
∣kann∣⩽∣a∣n⟶0\left|\frac{ka}{n\sqrt n}\right|
\leqslant\frac{|a|}{\sqrt n}\longrightarrow0Поэтому можно перейти к логарифму. По №526 при u→0u\to0−ln⁡cos⁡uu2/2⟶1,\frac{-\ln\cos u}{u^2/2}\longrightarrow1,и аргументы стремятся к нулю равномерно по kk. Теорему №631
применяем к положительным величинам −ln⁡cos⁡u-\ln\cos u и u2/2u^2/2.
Следовательно,lim⁡n→∞ln⁡Pn=\displaystyle \lim_{n\to\infty}\ln P_n\mathrel{=}lim⁡n→∞(−12∑k=1nk2a2n3)=\displaystyle \lim_{n\to\infty}
\left(-\frac12\sum_{k=1}^n
\frac{k^2a^2}{n^3}\right)\mathrel{=}−a22lim⁡n→∞n(n+1)(2n+1)6n3=\displaystyle -\frac{a^2}{2}
\lim_{n\to\infty}
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\mathrel{=}−a26\displaystyle -\frac{a^2}{6}После потенцирования получаем искомый предел
Демидович № 636 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика