Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 636

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь предыдущей теоремой, найти предел

\lim_{n\to\infty}\prod_{k=1}^n \cos\frac{ka}{n\sqrt n}

Ответ:

e^{-\frac{a^2}{6}}

Решение

Идея

Обозначим произведение через

P_n

. Если

a=0

, то

P_n=1

при
каждом

n

, и утверждение очевидно. Далее считаем

a\ne0

. Для
больших

n

все множители положительны, поскольку

Проверка

\left|\frac{ka}{n\sqrt n}\right| \leqslant\frac{|a|}{\sqrt n}\longrightarrow0

Поэтому можно перейти к логарифму. При

u\to0

-\ln\cos u\sim\frac{u^2}{2}

и аргументы стремятся к нулю равномерно по

k

. Теорему №631
применяем к положительным величинам

-\ln\cos u

u^2/2

.
Следовательно,

\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\ln P_n &=\lim_{n\to\infty} \left(-\frac12\sum_{k=1}^n \frac{k^2a^2}{n^3}\right)=\\ &=-\frac{a^2}{2} \lim_{n\to\infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} =-\frac{a^2}{6}\end{aligned}

После потенцирования получаем искомый предел