Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 629

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 629

Найти пределlim⁡n→∞(1+x)(1+x2)(1+x4)⋯(1+x2n),∣x∣<1\lim_{n\to\infty}
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^n}),
\qquad |x|<1
Ответ:11−x\frac1{1-x}

Решение

Последовательно применяем формулу разности квадратов:
(1−x)(1+x)(1+x2)⋯(1+x2n)=1−x2n+1\begin{aligned}
(1-x)(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n})
&=1-x^{2^{n+1}}
\end{aligned}Поэтому(1+x)(1+x2)⋯(1+x2n)=1−x2n+11−x(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n})
=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}При ∣x∣<1|x|<1 степень x2n+1x^{2^{n+1}} стремится к нулю