Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 629

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти предел

\lim_{n\to\infty} (1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2^n}), \qquad |x|<1

Ответ:

\frac1{1-x}

Решение

Идея

Последовательно применяем формулу разности квадратов:

\begin{aligned} (1-x)(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n}) &=1-x^{2^{n+1}}\end{aligned}

Поэтому

(1+x)(1+x^2)\cdots(1+x^{2^n}) =\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}

При

|x|<1

степень

x^{2^{n+1}}

стремится к нулю