Раздел I. Введение в анализ — § 5. Предел функции

Демидович — задача 639

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Задача 639

1. Пусть x>0x>0 иyn=yn−1(2−xyn−1)n=1,2,…y_n=y_{n-1}(2-xy_{n-1})
\qquad
n=1,2,\ldotsДоказать, что если yi>0y_i>0 при i=0,1i=0,1, то последовательность
yny_n сходится иlim⁡n→∞yn=1x\lim_{n\to\infty}y_n=\frac1xУказание. Изучить разность 1x−yn\dfrac1x-y_n

2. Для нахождения y=xy=\sqrt x, где x>0x>0, применяется
следующий процесс: y0>0y_0>0 выбирается произвольно иyn=12(yn−1+xyn−1)n=1,2,…y_n=\frac12\left(y_{n-1}+\frac{x}{y_{n-1}}\right)
\qquad
n=1,2,\ldotsДоказать, чтоlim⁡n→∞yn=x\lim_{n\to\infty}y_n=\sqrt xУказание. Использовать формулуyn−xyn+x=(yn−1−xyn−1+x)2n⩾1\frac{y_n-\sqrt x}{y_n+\sqrt x}
=\left(\frac{y_{n-1}-\sqrt x}{y_{n-1}+\sqrt x}\right)^2
\qquad
n\geqslant1
Доказано:lim⁡n→∞yn=1x\lim_{n\to\infty}y_n=\frac1xlim⁡n→∞yn=x\lim_{n\to\infty}y_n=\sqrt x

Доказательство

Введём относительную ошибкуrn=1−xynr_n=1-xy_nИз рекуррентной формулы получаемrn=1−xyn−1(2−xyn−1)==(1−xyn−1)2=rn−12\begin{aligned}
r_n
&=1-xy_{n-1}(2-xy_{n-1})=\\
&=(1-xy_{n-1})^2=r_{n-1}^2
\end{aligned}Условие y0>0y_0>0 даёт xy0>0xy_0>0, а условие
y1=y0(2−xy0)>0y_1=y_0(2-xy_0)>0 даёт xy0<2xy_0<2. Поэтому∣r0∣=∣1−xy0∣<1|r_0|=|1-xy_0|<1Следовательно,rn=r02n⟶0r_n=r_0^{2^n}\longrightarrow0и из равенства xyn=1−rnxy_n=1-r_n получаем требуемый предел

Все числа yny_n положительны. Положимqn=yn−xyn+xq_n=\frac{y_n-\sqrt x}{y_n+\sqrt x}По формуле из указанияqn=qn−12q_n=q_{n-1}^2Так как y0>0y_0>0 и x>0\sqrt x>0, имеем ∣q0∣<1|q_0|<1. Поэтомуqn=q02n⟶0q_n=q_0^{2^n}\longrightarrow0Из определения qnq_nyn=x 1+qn1−qny_n=\sqrt x\,\frac{1+q_n}{1-q_n}и правая часть стремится к x\sqrt x

Что и требовалось доказать

Демидович № 639 — решение и ответ