36 Часть объема

Часть объема

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $D$ , $A_1$ , $B$ , $C$ , $B_1$ прямоугольного параллелепипеда
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого ${AB=3}$ , ${AD=4}$ , ${AA_1=5}$ .

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 24.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $B_1$ прямоугольного параллелепипеда
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого ${AB=3}$ , ${AD=3}$ , ${AA_1=4}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $D_1$ прямоугольного параллелепипеда
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого ${AB=4}$ , ${AD=3}$ , ${AA_1=4}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A_1$ , $B$ , $C$ , $C_1$ , $B_1$ прямоугольного параллелепипеда
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого ${AB=4}$ , ${AD=3}$ , ${AA_1=4}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $B_1$ , $C_1$ прямоугольного параллелепипеда
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого ${AB=5}$ , ${AD=3}$ , ${AA_1=4}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 9. Найдите объём треугольной пирамиды $ABDA_1$ .

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 3 и пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 12. Найдите объём треугольной пирамиды $ABCB_1$ .

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 3 и пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , если объём треугольной пирамиды $ABDA_1$ равен 3.

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 3 и пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 2. Найдите объём куба.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 11

Объём куба равен 12. Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 12

Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 4,5. Найдите объём треугольной пирамиды $AD_1CB_1$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 13

Объём треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении $1 : 2$ , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 14

От треугольной пирамиды, объём которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

Для решения задачи поможет пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 15

Объём правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равен 12. Точка $E$ — середина ребра $SB$ . Найдите объём треугольной пирамиды $EABC$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 16

Объём треугольной пирамиды $SABC$ , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ , равен 1. Найдите объём шестиугольной пирамиды.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5 и пункт 6 в разделе 17.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 17

Объём тетраэдра равен 14. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 18

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $A_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ , площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 19

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $A_1$ , $C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 4 и пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 20

От треугольной призмы, объём которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объём оставшейся части.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 21

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A_1$ , $B_1$ , $B$ , $C$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 22

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , $A_1$ правильной шестиугольной призмы
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 21.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 23

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ правильной шестиугольной призмы
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 24 и пункт 6 в разделе 17.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 24

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $D$ , $E$ , $A_1$ , $B_1$ , $D_1$ , $E_1$ правильной шестиугольной призмы
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 24 и пункт 6 в разделе 17.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 25

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ правильной шестиугольной призмы
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Для решения задачи используйте пункт 6 в разделе 17.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 26

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $B_1$ правильной шестиугольной призмы
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Для решения задачи используйте пункт 6 в разделе 17.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Часть объема

Задача 1

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 2

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 3

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 4

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 5

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 6

У параллелепипеда и пирамиды одинаковая высота. Площадь основания пирамиды – это половина площади основания параллелепипеда, а объем пирамида – это
$S_{пирам}=\dfrac{1}{3}S_{ABD}\cdot h=\dfrac{1}{3}\dfrac{S_{ABCD}}{2}\cdot h=\dfrac{1}{6}S_{ABCD}\cdot h$ , а по условию $S_{ABCD}\cdot h=9$ .

Задача 8

Объем пирамиды равен $S_{пирам.}=\frac{1}{3} S_{осн.}\cdot h$ , объем параллелепипеда равен $S_{пар.}=S_{осн.}\cdot h$ . У пирамиды и параллелепипеда одинаковые высоты, опущенные из вершины $A_1$ , при этом площадь основание параллелепипеда в 2 раза больше площади основания пирамиды, поэтому объем параллелепипеда в 6 раз больше объема пирамиды.

Задача 9

Данный куб можно разделить на 8 одинаковых призм.

Вид сбоку: Вид сверху:

Задача 10

Данный куб можно разделить на 8 одинаковых призм.

Вид сбоку: Вид сверху:

Задача 11

Заметим, что данный куб состоит из 6 таких пирамид.

Задача 12

Данная фигура получается, если от параллелепипеда отсечь четыре пирамиды $AA_1D_1B_1$ , $CC_1D_1B_1$ , $B_1ABC$ и $D_1ADC$ . Объем каждой из этих пирамид равна $S=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot h$ , где высота такая же как и у параллелепипеда, основание в 2 раза меньше, чем у параллелепипеда, значит объем каждой такой пирамиды равен $\frac{1}{6}$ площади параллелепипеда, следовательно нужно вычесть из объема параллелепипеда $\frac{4}{6}$ от его объема.

Задача 17

Данная фигура получается из исходного тетраэдра путем отрезания четырех одинаковых тетраэдров сверху, спереди, справа и слева. По подобию мы понимаем, что каждый тетраэдр подобен данному с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$ , тогда объем каждого тетраэдра в 8 раз меньше объема исходного тетраэдра.

Задача 18

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 19

Искомая фигура – это четырехугольная пирамида. Можно найти объем исходной призмы и вычесть из нее объем пирамиды $BB_1C_1A_1$ , а можно сказать, что высотой искомой четырехугольной пирамиды будет являться перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на $AC$ , а основание $AA_1CC_1$ . Находим основание, находим высоту и получаем объем.

Задача 20

Данная фигура получается, если отрезать от призмы треугольную пирамиду, объем этой треугольной пирамиды равен $S_{пирам.}=\frac{1}{3}S_{осн.}\cdot h$ . Площадь основания и высота этой пирамиды такие же, как у призмы, значит объем треугольной пирамиды в 3 раза меньше объема призмы за счет коэффициента $\frac{1}{3}$ . А объем искомой фигуры равен объему призы минус объем треугольной пирамиды.

Задача 21

Заметим, что фигура, построенная на данных вершинах – это треугольная пирамида, но для того, чтобы найти ее объем, найдем объем пирамиды $A_1C_1CB_1$ и объем пирамиды $ACBA_1$ . А дальше из объема исходной пирамиды вычтем два наших объема.