14 Цилиндр

Цилиндр

1. Образующая цилиндра ( $l$ ) – это отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований. 2. Площадь основания цилиндра равна площади круга $S_{осн}=\pi R^2$ 3. Площадь поверхности цилиндра равна $S=2S_{осн}+S_{бок}=2\pi R^2+2\pi Rh$
4. Объем цилиндра находится по формуле $V=\pi R^2h$ Образующая цилиндра равна высоте цилиндра. 5. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две стороны которого - образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра.
6. Развертка цилиндра. Если у нас имеется бумажный цилиндр, то можно взять ножницы и отрезать от него оба основания. Затем боковую поверхность следует разрезать вдоль любой образующей и развернуть ее на плоскости. Таким способом мы получим развертку цилиндра.
7. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника со сторонами $l$ (высота цилиндра) и $2\pi R$ (длина окружности основания). $S_{бок}=2\pi Rl$

Цилиндр

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2\pi$ , а высота равна 1. Найдите диаметр основания.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2\pi$ , а диаметр основания равен 1. Найдите высоту цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна $\dfrac{3}{\pi}$ . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

В цилиндрический сосуд налили $6$ $\textrm{cм}^3$ воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в $\textrm{cм}^3$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

В цилиндрический сосуд налили $2000$ $\textrm{cм}^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 9

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 12. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания в 2 раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 10

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Цилиндр

Задача 6

Пусть $6$ $\textrm{cм}^3$ воды соответствует уровень жидкости равный $x$ см. Найдем, какой объем соответствует новому уровню жидкости в $1,5x$ см. Пусть $y$ – это объем, соответствующий новому уровню жидкости, тогда $\dfrac{6}{x}=\dfrac{y}{1,5x}$ , значит $xy=9x$ , а $y=9$ . Следовательно, объем детали – это новый объем минус старый объем.

Задача 7

Если $2000$ $\textrm{cм}^3$ воды соответствует уровень жидкости равный 12 см. Найдем, какой объем соответствует новому уровню жидкости в $12+9=21$ см. Пусть $x$ – это объем, соответствующий новому уровню жидкости, тогда $\dfrac{2000}{12}=\dfrac{x}{21}$ , значит $12x=42000$ , а $x=3500$ . Следовательно, объем детали – это новый объем минус старый объем.

Задача 9

Если высота первого цилиндра $h$ , то у второго цилиндра высота $3h$ . Если радиус основания первого цилиндра $R$ , то у второго цилиндра радиус $\frac{R}{2}$ . Запишем объем второго цилиндра $\pi\cdot\left(\frac{R}{2}\right)^2\cdot3h=\dfrac{3}{4}\pi R^2h$ . А объем первого цилиндра $\pi R^2h=12$ . Найдем объем второго.

Задача 10

Если высота первого цилиндра $h$ , то у второго цилиндра высота $\frac{h}{2}$ . Если радиус основания первого цилиндра $R$ , то у второго цилиндра радиус $1,5R$ . Запишем объем первого цилиндра: $\pi R^2h$ , а затем объем второго: $\pi (1,5R)^2\cdot\dfrac{h}{2}$ . А теперь найдем отношение второго к первому, то есть поделим объем второго на объем первого.

Цилиндр

— 6;
— 2;
— 2;
— 2;
— 12;
— 3;
— 1500;
— 4;
— 9;
— 1,125.