15 Конус

Конус

1. Образующая конуса –- это отрезок, соединяющий вершину конуса с произвольной точкой окружности основания. Иначе говоря, гипотенуза прямоугольного треугольника, который мы вращаем.

l=\sqrt{R^2+h^2}

2. Площадь основания конуса равна площади круга

S_{осн}=\pi R^2

3. Площадь поверхности конуса равна

S=S_{осн}+S_{бок}=\pi R^2+\pi Rl

4. Объем конуса находится по формуле

V=\dfrac{1}{3}S_{осн}\cdot h=\dfrac{\pi R^2}{3}\cdot h

5. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, две стороны которого образующие, а основание – диаметр основания конуса.

*Высота осевого сечения, проведенная к основанию, совпадает с высотой конуса.

6. Развертка конуса.

Если у нас имеется бумажный конус, то можно взять ножницы и отрезать от него основание. Затем коническую поверхность следует разрезать вдоль любой образующей и развернуть ее на плоскости, получив круговой сектор. Таким способом мы получили развертку боковой поверхности конуса.

7. Площадь боковой поверхности конуса равна площади сектора круга с радиусом $l$ и длиной дуги $2\pi R$ .

S_{бок}=\pi Rl

Конус

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Высота конуса равна 4, а диаметр основания равен 6. Найдите образующую конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Высота конуса равна 4, а длина образующей равна 5. Найдите диаметр основания конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей равна 5. Найдите высоту конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Высота конуса равна 8, а длина образующей равна 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 5 в разделе 10 и пункт 1 в разделе 23.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 5

Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей равна 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 5 в разделе 10 и пункт 1 в разделе 23.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 6

Площадь основания конуса равна $16\pi$ , а высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Для решения задачи используйте пункт 5 в разделе 10, пункт 2 в разделе 16 и пункт 1 в разделе 23.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 10 и пункт 1 в разделе 16.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 8

Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 10.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 9

Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 2 раза, а образующая останется прежней?

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличится в 46 раз, а высота останется прежней?

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 11

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Для решения задачи поможет пункт 7 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение 0задачи

Задача 12

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 13

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Для решения задачи используйте пункты 2 и 7 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Конус

Задача 9

Площадь боковой поверхности конуса равна $S_{бок}=\pi Rl$ , если радиус уменьшится в 2 раза, то есть станет равен $\dfrac{R}{2}$ , тогда площадь новой боковой поверхности будет $S_{пов}=\dfrac{\pi Rl}{2}$ .

Задача 10

Посмотрим, как изменится площадь основания: изначально площадь была $\pi R^2$ , а стала $\pi \cdot(46R)^2=2116\pi R^2$ .

Задача 11

Площадь боковой поверхности конуса равна $S_{бок}=\pi Rl$ , если образующая увеличится в 3 раза, то она станет равно $3l$ , тогда площадь новой боковой поверхности будет $S_{пов}=3\pi Rl$ .

Задача 12

Конус, в который налита вода, подобен исходному конусу с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$ , значит полный объем жидкости, вмещающийся в исходный конус в 8 раз больше уже налитой жидкости.

Задача 13

Как связаны радиус основания конуса и образующая конуса?

Конус

— 5;
— 6;
— 4;
— 48;
— 48;
— 24;
— 3;
— 3;
— 2;
— 2116;
— 3;
— 490;
— 60.