17 Перпендикулярность прямой и плоскости и теорема о трех перпендикулярах

Перпендикулярность прямой и плоскости и теорема о трех перпендикулярах

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна паре ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ прямых, лежащих в этой плоскости.

О важности того, что две прямые, лежащие в плоскости, должны быть именно пересекающимися:

$a, b \subset \alpha$ и $a\parallel b$ . Прямая $с$ находится под некоторым углом к плоскости $\alpha$ , но перпендикулярна двум параллельным прямым в этой плоскости.

Данный пример показывает, что требование о пересечении прямых, лежащих в плоскости, опустить нельзя.

Перпендикуляр, опущенный на плоскость – это отрезок, перпендикулярный плоскости, один конец которого принадлежит этой плоскости.

2. Пусть прямая не параллельна и не перпендикулярна плоскости, в этом случае она называется наклонной. Чтобы спроецировать такую прямую на плоскость, надо взять на прямой произвольную точку $A$ , отличную от точки $O$ пересечения прямой с плоскостью, и опустить из этой точки перпендикуляр $AH$ на плоскость. Теперь проведем прямую на плоскости через основание $H$ перпендикуляра и точку $O$ пересечения прямой с плоскостью. Прямая $OH$ является проекцией на плоскость наклонной прямой.

3. Теорема о трех перпендикулярах.

Если прямая $a$ , лежащая в плоскости $\alpha$ , перпендикулярна прямой $b$ – проекции наклонной $c$ на плоскость $\alpha$ , то она перпендикулярна и самой прямой $c$ .

a\subset\alpha, \ a\perp b \Rightarrow a\perp c

4. Обратная теорема о трех перпендикулярах.

Если прямая $a$ , лежащая в плоскости $\alpha$ , перпендикулярна наклонной $c$ , то она перпендикулярна и проекции прямой $c$ на плоскость $\alpha$ - прямой $b$ .

a\subset\alpha, \ a\perp c \Rightarrow a\perp b

5. Две теоремы о трёх перпендикулярах – прямую и обратную – можно объединить в одну:

Пусть $b$ – проекция наклонной прямой $c$ на плоскость $\alpha$ . $a$ – прямая в плоскости $\alpha$ , тогда

\ a\perp c \Leftrightarrow a\perp b