19 Двугранный угол, угол между плоскостями, перпендикулярность плоскостей

Пересечением двух любых непараллельных плоскостей является прямая, которая делит каждую из этих плоскостей на две полуплоскости.

$\blacktriangleright$ Пример 1.

$SABC$ – правильная треугольная пирамида.

Угол между боковой гранью и основанием:

$\triangle ACB$ – равносторонний $\Rightarrow \ CH$ – высота и медиана

$\triangle SAB$ – равнобедренный $\Rightarrow \ SH$ – высота и медиана

$SH\ и\ CH$ – два перпендикуляра к прямой $AB$ с общей точкой $H\ \Rightarrow\ \angle CHS$ – угол между плоскостями $ABC\ и\ SAB$ .

$\blacktriangleright$ Пример 2.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – куб.

Угол между $C_1BD$ и основанием:

$BD$ – линяя пересечения плоскостей

$O$ – середина $BD$

$\triangle CBD$ – равнобедренный $\Rightarrow \ CO$ – высота и медиана

$\triangle C_1BD$ – равнобедренный $\Rightarrow \ C_1O$ – высота и медиана

$CO\ и\ C_1O$ – два перпендикуляра к прямой $BD$ с общей точкой $O\ \Rightarrow\ \angle C_1OC$ – угол между плоскостями $C_1BD\ и\ ABCD$ .

Вычислим величину угла $\angle C_1OC$ . За обозначение стороны куба возьмём $x$ .

Рассмотрим $\triangle ADB$ – прямоугольный. По теореме Пифагора найдём сторону $DB$ .

DB^2=AD^2+AB^2 \Rightarrow DB^2=2x^2 \Rightarrow DB=x\sqrt{2}

OC=DO=OB=\dfrac{x\sqrt{2}}{2},

Рассмотрим $\triangle C_1OC$ :

\tan{\angle C_1OC}=\dfrac{C_1C}{OC}=\dfrac{x}{\dfrac{x\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

\Downarrow

\angle C_1OC=\arctan{\sqrt{2}}