Содержание

Задание 3. Стереометрия

Скачать статью в PDFЗадание 3. Стереометрия.pdf · 8.4 МБСкачать

Теория

Куб

1. Диагональ куба – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. $\triangle DBD_1$ – прямоугольный $\left(DD_1\perp BD\right)$ $D_1B^2=D_1D^2+BD^2$ $\triangle ABD$ – прямоугольный $\left(\angle BAD=90^{\circ}\right)$ $DB^2=AD^2+AB^2=a^2+a^2=2a^2$ Тогда $D_1B^2=D_1D^2+BD^2=a^2+2a^2=3a^2$ $d=\sqrt{3}a$
2. Диагональ грани куба – отрезок, соединяющий две вершины, лежащие в одной грани и не являющиеся ребром куба. $l^2=a^2+a^2=2a^2$ $l=a\sqrt{2}.$
3. Площадь поверхности куба – это сумма площадей всех граней. $S=6a^2$ 4. Объем куба находится по формуле $V=a^3$
5. Радиус вписанной в куб сферы $r=\dfrac{a}{2}$
6. Диагональ куба является диаметром описанной вокруг куба сферы. $R=\dfrac{d}{2}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$

Прямоугольный параллелепипед

1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}

Любую грань прямоугольного параллелепипеда можно назвать нижним основанием, тогда противолежащая грань будет верхним основанием, а все остальные грани – боковыми гранями

2. Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда – это сумма площадей всех боковых граней.

S_{бок}=2ac+2bc=2(a+b)\cdot c=P_{осн}\cdot c

3. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда – это сумма площадей всех граней.

S=2S_{осн}+S_{бок}

или

S=2(ab+bc+ac)

4. Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле

V=a\cdot b\cdot c

5. Диагональ грани параллелепипеда – отрезок, соединяющий две вершины, лежащие

в одной грани, и не являющийся ребром параллелепипеда.

l_1^2=b^2+c^2 \Leftrightarrow l_1=\sqrt{b^2+c^2}

l_2^2=a^2+c^2 \Leftrightarrow l_2=\sqrt{a^2+c^2}

l_3^2=a^2+b^2 \Leftrightarrow l_3=\sqrt{a^2+b^2}

Параллелепипед

Любую грань параллелепипеда можно назвать нижним основанием, тогда противолежащая грань будет верхним основанием, а все остальные грани – боковыми гранями.

1. Площадь поверхности параллелепипеда – сумма площадей всех граней.

S=2S_{осн}+S_{бок}

2. Объем параллелепипеда находится по формуле

V=S_{осн}\cdot h

Прямая призма

1. Площадь боковой поверхности произвольной призмы равна сумме площадей всех ее боковых граней, в случае прямой призмы – сумме площадей прямоугольников, у каждого из которых одна из сторон – боковое ребро длины $h$ , поэтому:

S_{бок}=P_{осн}\cdot h,

$где\ P_{осн}$ – периметр основания.

2. Площадь поверхности прямой призмы – это сумма площадей всех граней призмы.

S=2S_{осн}+S_{бок}

3. Объем прямой призмы находится по формуле

V=S_{осн}\cdot h

Правильная треугольная призма

1. Площадь основания правильной треугольной призмы равна

S_{осн}=\dfrac{1}{2}a\cdot a\cdot \sin60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\cdot a=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2

2. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы – это сумма площадей всех боковых граней.

S_{бок}=3ah

3. Площадь поверхности правильной треугольной призмы – это сумма площадей всех

граней.

S=2S_{осн}+S_{бок}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{2}+3ah

4. Объем правильной треугольной призмы находится по формуле

V=S_{осн}\cdot h=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 h

Правильная четырехугольная призма

1. Площадь основания правильной четырехугольной призмы равна

S_{осн}=a^2

2. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы – это сумма площадей всех боковых граней.

S_{бок}=4ah

3. Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы – это сумма площадей всех граней.

S=2S_{осн}+S_{бок}=2a^2+4ah

4. Объем правильной четырехугольной призмы находится по формуле

V=S_{осн}\cdot h=a^2h

Правильная шестиугольная призма

1. Площадь основания правильной шестиугольной призмы равна

S_{осн}=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}

2. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы – это сумма площадей всех боковых граней.

S_{бок}=6ah

3. Площадь поверхности правильной шестиугольной призмы – это сумма площадей всех граней.

S=2S_{осн}+S_{бок}=3\sqrt{3}a^2+6ah

4. Объем призмы находится по формуле

V=S_{осн}\cdot h=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}\cdot h

Пирамида

В дальнейших рассуждениях, мы будем рассматривать четырехугольную пирамиду $SABCD$ , для других пирамид формулы аналогичны.

1. Площадь основания равна площади фигуры, лежащей в основании пирамиды:

S_{осн}=S_{ABCD}

2. Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех боковых граней.

S_{бок}=S_{ABS}+S_{ADS}+S_{CDS}+S_{BCS}

3. Площадь поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней этой пирамиды.

S=S_{осн}+S_{бок}

4. Объем пирамиды находится по формуле

V=\dfrac{1}{3}S_{осн}\cdot h

5. В пирамиде, у которой все боковые ребра равны, высота падает в центр описанной

окружности основания.

6. В пирамиде, у которой все боковые грани одинаково наклонены к плоскости

основания, высота падает в центр вписанной окружности основания.

*Грани называются одинаково наклоненными к плоскости основания, если все

двугранные углы между боковыми гранями и плоскостью основания одинаковые.

Правильный тетраэдр

*Также можно сказать, что правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро равно ребру основания.

1. В правильном тетраэдре все грани равны, поэтому

S_{осн}=S_{бок. гр.}=\dfrac{1}{2}al=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\cdot a

S_{осн}=S_{бок гр.}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2

2. Площадь поверхности правильного тетраэдра – это сумма площадей всех граней.

S=4\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2=a^2\sqrt{3}

3. Высоту правильного тетраэдра можно найти по теореме Пифагора:

Рассмотрим $\triangle AOD$ :

h^2=a^2-\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=\dfrac{6a^2}{9}

h=\dfrac{\sqrt{6}a}{3}

4. Объем правильного тетраэдра находится по формуле

V=\dfrac{1}{3}S_{осн}\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot \dfrac{\sqrt{6}}{3}a=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}

Правильная треугольная пирамида

1. Площадь основания правильной треугольной пирамиды равна

S_{осн}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}

2. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды – это сумма

площадей всех боковых граней.

S_{бок}=\dfrac{3}{2}al

3. Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды – это сумма площадей

всех граней.

S=S_{осн}+S_{бок}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}+\dfrac{3}{2}al

4. Объем треугольной пирамиды находится по формуле

V=\dfrac{1}{3}S_{осн}\cdot h=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot h

Важное свойство правильной треугольной пирамиды

$SO$ – высота пирамиды. Высота правильной пирамиды падает в центр описанной вокруг основания окружности. В случае правильной треугольной пирамиды центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис, медиан и высот правильного треугольника $ABC$ , тогда $AO$ – проекция $SA$ на плоскость $ABC$ . С другой стороны $AO$ – это отрезок, соединяющий $A$ с точкой пересечения высот треугольника $ABC$ , значит прямая $AO \perp BC$ . Тогда, раз $AO$ – проекция $SA$ и $AO \perp BC$ , то по теореме о трех перпендикулярах $SA \perp BC$ .

Подробнее о теореме о трех перпендикулярах читайте в разделе 26.

Правильная четырехугольная пирамида

1. Так как в основании четырехугольной пирамиды лежит квадрат, то площадь ее основания равна

S_{осн}=a\cdot a=a^2

2. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды – это сумма площадей всех боковых граней.

S_{бок}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot l\cdot4=2al

3. Площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды – это сумма площадей

всех граней.

S=S_{осн}+S_{бок}=a^2+2al

4. Объем четырехугольной пирамиды находится по формуле

V=\dfrac{1}{3}S_{осн}\cdot h=\dfrac{a^2}{3}\cdot h

Правильная шестиугольная пирамида

1. Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды равна площади правильного шестиугольника. Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников, поэтому

S_{осн}=6S_{\triangle}=6\cdot\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot\sin60^{\circ}=6\cdot\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}

2. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды – это сумма площадей всех боковых граней.

S_{бок}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot l\cdot6=3al

3. Площадь поверхности правильной шестиугольной пирамиды – сумма площадей всех

граней.

S=S_{осн}+S_{бок}=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}+3al

4. Объем шестиугольной пирамиды находится по формуле

V=\dfrac{1}{3}S_{осн}\cdot h=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{6}\cdot h= \dfrac{\sqrt{3}a^2}{2}\cdot h

*Вы же не забыли, что правильный шестиугольник состоит из шести правильных

треугольников (раздел 17)?

Цилиндр

1. Образующая цилиндра ( $l$ ) – это отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный плоскостям оснований. 2. Площадь основания цилиндра равна площади круга $S_{осн}=\pi R^2$ 3. Площадь поверхности цилиндра равна $S=2S_{осн}+S_{бок}=2\pi R^2+2\pi Rh$
4. Объем цилиндра находится по формуле $V=\pi R^2h$ Образующая цилиндра равна высоте цилиндра. 5. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, две стороны которого - образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра.
6. Развертка цилиндра. Если у нас имеется бумажный цилиндр, то можно взять ножницы и отрезать от него оба основания. Затем боковую поверхность следует разрезать вдоль любой образующей и развернуть ее на плоскости. Таким способом мы получим развертку цилиндра.
7. Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника со сторонами $l$ (высота цилиндра) и $2\pi R$ (длина окружности основания). $S_{бок}=2\pi Rl$

Конус

1. Образующая конуса –- это отрезок, соединяющий вершину конуса с произвольной точкой окружности основания. Иначе говоря, гипотенуза прямоугольного треугольника, который мы вращаем.

l=\sqrt{R^2+h^2}

2. Площадь основания конуса равна площади круга

S_{осн}=\pi R^2

3. Площадь поверхности конуса равна

S=S_{осн}+S_{бок}=\pi R^2+\pi Rl

4. Объем конуса находится по формуле

V=\dfrac{1}{3}S_{осн}\cdot h=\dfrac{\pi R^2}{3}\cdot h

5. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, две стороны которого образующие, а основание – диаметр основания конуса.

*Высота осевого сечения, проведенная к основанию, совпадает с высотой конуса.

6. Развертка конуса.

Если у нас имеется бумажный конус, то можно взять ножницы и отрезать от него основание. Затем коническую поверхность следует разрезать вдоль любой образующей и развернуть ее на плоскости, получив круговой сектор. Таким способом мы получили развертку боковой поверхности конуса.

7. Площадь боковой поверхности конуса равна площади сектора круга с радиусом $l$ и длиной дуги $2\pi R$ .

S_{бок}=\pi Rl

Шар

1. Большим кругом шара называется сечение шара, проходящее через центр этого шара. Площадь большого круга шара равна

S_{сеч}=\pi R^2

2. Длина окружности большого круга равна

l=2\pi R

3. Площадь поверхности шара (площадь сферы) равна

S_{пов}=4\pi R^2

4. Объем шара находится по формуле

V=\dfrac{4}{3}\pi R^3

Перпендикулярность прямой и плоскости и теорема о трех перпендикулярах

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна паре ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ прямых, лежащих в этой плоскости.

О важности того, что две прямые, лежащие в плоскости, должны быть именно пересекающимися:

$a, b \subset \alpha$ и $a\parallel b$ . Прямая $с$ находится под некоторым углом к плоскости $\alpha$ , но перпендикулярна двум параллельным прямым в этой плоскости.

Данный пример показывает, что требование о пересечении прямых, лежащих в плоскости, опустить нельзя.

Перпендикуляр, опущенный на плоскость – это отрезок, перпендикулярный плоскости, один конец которого принадлежит этой плоскости.

2. Пусть прямая не параллельна и не перпендикулярна плоскости, в этом случае она называется наклонной. Чтобы спроецировать такую прямую на плоскость, надо взять на прямой произвольную точку $A$ , отличную от точки $O$ пересечения прямой с плоскостью, и опустить из этой точки перпендикуляр $AH$ на плоскость. Теперь проведем прямую на плоскости через основание $H$ перпендикуляра и точку $O$ пересечения прямой с плоскостью. Прямая $OH$ является проекцией на плоскость наклонной прямой.

3. Теорема о трех перпендикулярах.

Если прямая $a$ , лежащая в плоскости $\alpha$ , перпендикулярна прямой $b$ – проекции наклонной $c$ на плоскость $\alpha$ , то она перпендикулярна и самой прямой $c$ .

a\subset\alpha, \ a\perp b \Rightarrow a\perp c

4. Обратная теорема о трех перпендикулярах.

Если прямая $a$ , лежащая в плоскости $\alpha$ , перпендикулярна наклонной $c$ , то она перпендикулярна и проекции прямой $c$ на плоскость $\alpha$ - прямой $b$ .

a\subset\alpha, \ a\perp c \Rightarrow a\perp b

5. Две теоремы о трёх перпендикулярах – прямую и обратную – можно объединить в одну:

Пусть $b$ – проекция наклонной прямой $c$ на плоскость $\alpha$ . $a$ – прямая в плоскости $\alpha$ , тогда

\ a\perp c \Leftrightarrow a\perp b

Угол между прямой и плоскостью

$\blacktriangleright$ Пример 1. Угол между боковым ребром $SA$ и основанием пирамиды: $SO$ – высота пирамиды; $AO$ – проекция ребра $SA$ ; $\angle SAO$ – угол между боковым ребром $SA$ и основанием.
$\blacktriangleright$ Пример 2. Угол между диагональю $C_1A$ и основанием куба: $CC_1\perp ABCD\ \Rightarrow \ CA$ – проекция $C_1A$ на основание $ABCD\ \Rightarrow\ \angle C_1AC$ – угол между диагональю куба и его основанием.
Вычислим величину угла $\angle C_1AC=\alpha$ . За обозначение стороны куба возьмём $x$ (для удобства вычисления). Рассмотрим $\triangle BAC$ – прямоугольный. Найдём сторону $CA$ из теоремы Пифагора: $CA^2=BC^2+BA^2 \Rightarrow CA^2=2x^2 \Rightarrow CA=x\sqrt{2}$ Рассмотрим $\triangle C_1CA$ – прямоугольный. $\tan{\alpha}=\dfrac{CC_1}{CA}=\dfrac{x}{x\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow$ $\Downarrow$ $\angle CAC_1=\angle \alpha = \arctan{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}.$
$\blacktriangleright$ Пример 3. $SABCD$ – правильная четырехугольная пирамида. $M$ – середина $SC$ . Угол между $BM$ и плоскостью $ABCD$ : $MH \perp ABCD$ $BH$ – проекция $BM$ на $ABCD$ $\angle MBH$ – угол между прямой $BM$ и плоскостью $ABCD$ .

Двугранный угол, угол между плоскостями, перпендикулярность плоскостей

Пересечением двух любых непараллельных плоскостей является прямая, которая делит каждую из этих плоскостей на две полуплоскости.

$\blacktriangleright$ Пример 1.

$SABC$ – правильная треугольная пирамида.

Угол между боковой гранью и основанием:

$\triangle ACB$ – равносторонний $\Rightarrow \ CH$ – высота и медиана

$\triangle SAB$ – равнобедренный $\Rightarrow \ SH$ – высота и медиана

$SH\ и\ CH$ – два перпендикуляра к прямой $AB$ с общей точкой $H\ \Rightarrow\ \angle CHS$ – угол между плоскостями $ABC\ и\ SAB$ .

$\blacktriangleright$ Пример 2.

$ABCDA_1B_1C_1D_1$ – куб.

Угол между $C_1BD$ и основанием:

$BD$ – линяя пересечения плоскостей

$O$ – середина $BD$

$\triangle CBD$ – равнобедренный $\Rightarrow \ CO$ – высота и медиана

$\triangle C_1BD$ – равнобедренный $\Rightarrow \ C_1O$ – высота и медиана

$CO\ и\ C_1O$ – два перпендикуляра к прямой $BD$ с общей точкой $O\ \Rightarrow\ \angle C_1OC$ – угол между плоскостями $C_1BD\ и\ ABCD$ .

Вычислим величину угла $\angle C_1OC$ . За обозначение стороны куба возьмём $x$ .

Рассмотрим $\triangle ADB$ – прямоугольный. По теореме Пифагора найдём сторону $DB$ .

DB^2=AD^2+AB^2 \Rightarrow DB^2=2x^2 \Rightarrow DB=x\sqrt{2}

OC=DO=OB=\dfrac{x\sqrt{2}}{2},

Рассмотрим $\triangle C_1OC$ :

\tan{\angle C_1OC}=\dfrac{C_1C}{OC}=\dfrac{x}{\dfrac{x\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

\Downarrow

\angle C_1OC=\arctan{\sqrt{2}}

Подобие фигур

Дадим наглядное описание понятия «подобные фигуры», поскольку его краткое строгое определение весьма формально и сложно для понимания, а подробное – слишком объёмно.

Две фигуры являются подобными, если одна является увеличенной или уменьшенной копией другой.

Приведем примеры подобных фигур:

Если у призмы увеличить ребра основания в 2 раза, а высоту оставить неизменной, то полученная призма не будет подобна исходной призме.

1. При подобии с коэффициентом $k$ линейные размеры фигуры увеличиваются в $k$ раз. Под линейными размерами мы подразумеваем любое ребро, высоту, диагональ и т.п.

P.S. И даже если мы опишем окружность вокруг многоугольника в основании, при подобии радиус этой окружности тоже изменится в $k$ раз. Периметр основания тоже изменится в $k$ раз.

2. Все двумерные размеры увеличиваются в $k^2$ раз. Под двумерными размерами можно понимать площадь основания, площадь поверхности, площадь любой грани, площадь диагонального сечения и т.д.

3. А все трехмерные размеры (например, объём тела, объём выделенной части тела, объём описанного шара, объём вписанного шара) увеличиваются в $k^3$ раз.

Необходимая теория по планиметрии:

Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике каждая высота совпадает с медианой и биссектрисой, проведенными из той же вершины.

Точки пересечения высот, медиан и биссектрис совпадают. Также эта точка является центром вписанной и описанной окружности.

1. Высота равностороннего треугольника равна $h^2=a^2-\Big(\frac{a}{2}\Big)^2=\frac{4a^2-a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$ $h=\dfrac{\sqrt{3}}{2}a$
2. Радиус вписанной окружности: $r=\dfrac{1}{3}h=\dfrac{\sqrt{3}}{6}a$
3. Радиус описанной окружности равен $R=\dfrac{2}{3}h=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$
4. $R=2r$ .
5. Площадь равностороннего треугольника равна $S=\dfrac{1}{2}ah=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\cdot a$ $S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

Прямоугольный треугольник

1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

a^2+b^2=c^2.

2. Если в треугольнике $ABC$ со сторонами $a$ , $b$ , $c$ верно, что $a^2+b^2=c^2$ , то угол, лежащий напротив стороны $C$ , равен $90^{\circ}$ (Обратная теореме Пифагора).

3. Напротив угла в $30^{\circ}$ лежит катет, равный половине гипотенузы: если $\alpha=30^{\circ}$ , тогда $b=\dfrac{c}{2}$ .

4. Гипотенуза является диаметром, а ее середина – центром окружности, описанной вокруг данного прямоугольного треугольника.

Площадь треугольника

для тупоугольного для остроугольного

1. Если известны высота и сторона, к которой она проведена: $S=\frac{1}{2}ah$ .
2. Если известны 3 стороны (формула Герона): $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , где $p=\frac{a+b+c}{2}$ .
3. Если известны 2 стороны и угол между ними: $S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha$ .
4. Если известны полупериметр и радиус вписанной окружности: $S=pr$ , где $p=\frac{a+b+c}{2}$ . *Чаще всего эта формула используется для нахождения радиуса вписанной окружности.
5. Если известны 3 стороны и радиус описанной окружности: $S=\frac{abc}{4R}$ . *Достаточно бесполезная формула, которую иногда удобно использовать для того, чтобы искать радиус описанной окружности.

Средняя линяя треугольника

1. Свойство средней линии: средняя линяя треугольника параллельна основанию и равна его половине.
2. Каждая средняя линяя треугольника отсекает от треугольника треугольник, периметр которого в два раза меньше данного, а площадь в четыре раза меньше.

Квадрат

1. $S=a\cdot a=a^2$ .

2. Диагональ квадрата можно найти по теореме Пифагора:

d^2=a^2+a^2=2a^2,\ d=a\sqrt{2}.

3. Площадь квадрата через длину его диагонали:

Так как $S=a^2$ , а $d^2=2a^2$ , значит $a^2 = \dfrac{d^2}{2}$ , значит

S=\dfrac{d^2}{2}.

4. $r=\dfrac{a}{2}$ .

5. $R=\dfrac{d}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Ромб

1. Диагонали ромба пересекаются под углом $90^{\circ}$ .
2. Диагонали ромба делят его углы пополам.
3. $S=\dfrac{d_1\cdot d_2}{2}$ .
4. $S=a\cdot h$ .
5. В ромб всегда можно вписать окружность, радиус которой будет равен $r=\dfrac{h}{2}$ .
6. Если ромб не является квадратом, то описать вокруг него окружность нельзя.

Окружность

1. Длина окружности равна:

С=2\pi R

2. Площадь круга:

S=\pi R^2

Правильный шестиугольник

1. Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников. Супер важное свойство! 2. Угол правильного шестиугольника равен $120^{\circ}$ . 3. Радиус описанной окружности: $R=a$ .
4. Радиус вписанной окружности: $r=\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$ . 5. Площадь правильного шестиугольника: $S=6S_{\triangle}=6\cdot\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot\sin60^{\circ}=6\cdot\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ .
6. В правильном шестиугольнике верно, что $S_{BFE} = \dfrac{1}{3}S_{ABCDEF}.$
7. Иногда в задачах полезно знать, что четырёхугольник $ABOF$ является ромбом и верно, что $S_{ABOF} = \dfrac{1}{3}S_{ABCDEF},\;\;\; S_{ABF} = \dfrac{1}{6}S_{ABCDEF}.$
8. В правильном шестиугольнике верно, что $BF = \sqrt{3}a$ , $BE = 2a$ .
9. В правильном шестиугольнике верно, что $S_{BFD} = \dfrac{1}{2}S_{ABCDEF}.$

Задачи для самостоятельного решения

Элементы составных многогранников

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами $B_2$ и $D_3$ .

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами $A$ и $C_3$ .

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами $B$ и $D_2$ .

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами $A$ и $C_2$ .

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите расстояние между вершинами $B_1$ и $D_2$ .

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите квадрат расстояния между вершинами $D$ и $C_2$ .

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла $B_2A_2C_2$ .

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла $C_2C_3B_2$ .

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла $C_3D_3B_3$ .

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла $ABB_3$ .

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Площадь поверхности

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображённого на рисунке и составленного из единичных кубов.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 12

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 13

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 14

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 15

Задача 16

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 17

Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Объем составного многогранника

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Найдите объём пространственного креста, изображённого на рисунке и составленного из единичных кубов.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 1.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 2.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 12

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 13

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 14

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 15

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Куб

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Объём куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Для решения задачи используйте пункты 3 и 4 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 3 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объём.

Для решения задачи используйте пункты 3 и 4 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 3 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Диагональ куба равна $\sqrt{12}$ . Найдите его объём.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 4 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 6

Куб вписан в шар радиуса $\sqrt{3}$ . Найдите объём куба.

Для решения задачи используйте пункты 4 и 6 в разделе 1.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в 3 раза?

Для решения задачи используйте раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

Во сколько раз увеличится объём куба, если все его ребра увеличить в три раза?

Для решения задачи используйте разделе 18.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 9

Объём куба равен $24\sqrt{3}$ . Найдите его диагональ.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 4 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то площадь его поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Для решения задачи используйте пункты 3 и 4 в разделе 1.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объём увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 12

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AD_1$ и $B_1D_1$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 13

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ — середина ребра $AA_1$ , точка $L$ — середина ребра $A_1B_1$ , точка $M$ — середина ребра $A_1D_1$ . Найдите угол $MLK$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Параллелепипед

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $DD_1=1$ , $CD=2$ , $AD=2$ . Найдите длину диагонали $CA_1$ .

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 1, 2, 3. Найдите площадь его поверхности.

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объём параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 4

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $BD_1=3$ , $CD=2$ , $AD=2$ . Найдите длину ребра $AA_1$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 1 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 3 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объём параллелепипеда.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 4 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Найдите угол $ABD_1$ прямоугольного параллелепипеда, для которого $AB=5$ , $AD=4$ , $AA_1=3$ . Ответ дайте в градусах.

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=4$ , $AD=3$ , $AA_1=5$ . Найдите угол $DBD_1$ . Ответ дайте в градусах.

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=3$ , $AD=5$ , $AA_1=12$ . Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A$ , $B$ и $C_1$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AA_1$ равно 15, а диагональ $BD_1$ равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $A$ , $A_1$ и $C$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=24$ , $AD=10$ , $AA_1=22$ . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины $A$ , $A_1$ и $C$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 12

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB=2$ , ребро $AD=\sqrt{5}$ , ребро $AA_1=2$ . Точка $K$ — середина ребра $BB_1$ . Найдите площадь сечения, проходящего через точки $A_1$ , $D_1$ и $K$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 13

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=8$ , $AD=6$ , $AA_1=21$ . Найдите синус угла между прямыми $CD$ и $A_1C_1$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 14

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^\circ$ . Найдите объём параллелепипеда.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 4 в разделе 2, теорему Пифагора и раздел 12.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 15

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом $60^\circ$ . Одно из рёбер параллелепипеда составляет с плоскостью этой грани угол $60^\circ$ и равно 2. Найдите объём параллелепипеда.

Для решения задачи помогут пункты 2 в разделе 3 и 3 в разделе 23.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Пирамида

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания, $S$ — вершина, $SO=4$ , $AC=6$ . Найдите боковое ребро $SC$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания, $S$ — вершина, $SC=5$ , $AC=6$ . Найдите длину отрезка $SO$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания, $S$ — вершина, $SO=4$ , $SC=5$ . Найдите длину отрезка $AC$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 4

Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 3 в разделе 7.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 5

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 2 в разделе 8.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а высота равна 4.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 2 в разделе 7 и пункт 2 в разделе 15.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6, а высота равна 4.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 3 в разделе 7 и пункт 2 в разделе 15.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна $\sqrt{3}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 19.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

Во сколько раз увеличится объём пирамиды, если её высоту увеличить в четыре раза?

Для решения задачи поможет пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объём равен $\sqrt{3}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 19.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4, а её высота равна 6. Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте пункт 4 разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 12

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Её объём равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 13

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите её объём.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 4 в разделе 7.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 14

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ боковое ребро $SA$ равно 5, сторона основания равна $3\sqrt{2}$ . Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 4 в разделе 7.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 15

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12, объём равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 4 в разделе 7.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 16

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 4 в разделе 8.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 17

Объём правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 4 в разделе 8.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 18

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен $45^\circ$ . Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 8 и пункт 4 в разделе 17.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 19

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а сторона основания равна $3\sqrt{3}$ . Найдите высоту пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 3 в разделе 13.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 20

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 4,5. Найдите высоту пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 3 в разделе 13.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 21

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 28.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 22

Рёбра правильного тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырёх его рёбер.

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 28.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 23

Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 24

Боковые рёбра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 4 в разделе 19 и пункт 3 в разделе 13.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 25

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$ . Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Призма

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро призмы равно 10. Найдите площадь её поверхности.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 2 в разделе 24.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ стороны оснований равны 2, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$ , $AC$ , $A_1B_1$ и $A_1C_1$ .

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 28.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро призмы равно 5. Найдите объём призмы.

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 24 и пункт 1 в разделе 23.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 4

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь её поверхности равна 288. Найдите боковое ребро призмы.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 2 в разделе 24.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5, объём призмы равен 30. Найдите боковое ребро призмы.

Для решения задачи поможет пункт 3 в разделе 24.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ известно, что $AB=\sqrt{3}AA_1$ . Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $CC_1$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 3. Найдите угол между прямыми $AA_1$ и $BC_1$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

Площадь боковой поверхности прямоугольной треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсеченной треугольной призмы.

Для решения задачи используйте раздел 28.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объём исходной призмы.

Для решения задачи используйте раздел 28.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 12

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили $2300$ $\textrm{cм}^3$ воды и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 4.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 13

В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, уровень жидкости достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить в другой сосуд такой же формы, сторона основания которого в 4 раза больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 4.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 14

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 2 в разделе 24 и пункт 3 в разделе 27.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 15

В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь её поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 2 в разделе 24 и пункт 3 в разделе 27.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 16

Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, если сторона её основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 20.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 17

В правильной четырёхугольной призме
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что ${AC_1=2BC}$ . Найдите угол между диагоналями $BD_1$ и $A_1C$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 18

Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 5, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 21.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 19

Найдите объём правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны $\sqrt{3}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 21.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 20

В правильной шестиугольной призме
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны $\sqrt{5}$ . Найдите расстояние между точками $B$ и $E_1$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 21

В правильной шестиугольной призме
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны 1. Найдите расстояние между точками $A$ и $E_1$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 22

В правильной шестиугольной призме
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны 1. Найдите тангенс угла $AD_1D$ .

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 23

В правильной шестиугольной призме
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны 1. Найдите угол $AC_1C$ . Ответ дайте в градусах.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 24

Найдите объём призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые рёбра равны $2\sqrt{3}$ и наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$ .

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Цилиндр

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2\pi$ , а высота равна 1. Найдите диаметр основания.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2\pi$ , а диаметр основания равен 1. Найдите высоту цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна $\dfrac{3}{\pi}$ . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

В цилиндрический сосуд налили $6$ $\textrm{cм}^3$ воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в $\textrm{cм}^3$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

В цилиндрический сосуд налили $2000$ $\textrm{cм}^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 9

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 12. У второго цилиндра высота в 3 раза больше, а радиус основания в 2 раза меньше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 10

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Конус

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Высота конуса равна 4, а диаметр основания равен 6. Найдите образующую конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Высота конуса равна 4, а длина образующей равна 5. Найдите диаметр основания конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Диаметр основания конуса равен 6, а длина образующей равна 5. Найдите высоту конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Высота конуса равна 8, а длина образующей равна 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 5 в разделе 10 и пункт 1 в разделе 23.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 5

Диаметр основания конуса равен 12, а длина образующей равна 10. Найдите площадь осевого сечения этого конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 5 в разделе 10 и пункт 1 в разделе 23.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 6

Площадь основания конуса равна $16\pi$ , а высота равна 6. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Для решения задачи используйте пункт 5 в разделе 10, пункт 2 в разделе 16 и пункт 1 в разделе 23.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 10 и пункт 1 в разделе 16.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 8

Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 10.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 9

Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 2 раза, а образующая останется прежней?

Для решения задачи используйте пункт 7 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличится в 46 раз, а высота останется прежней?

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 11

Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

Для решения задачи поможет пункт 7 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение 0задачи

Задача 12

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\dfrac{1}{2}$ высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 13

Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.

Для решения задачи используйте пункты 2 и 7 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Шар

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Площадь поверхности шара равна 12. Найдите площадь большого круга шара.

Для решения задачи помогут пункты 1 и 3 в разделе 11.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

Для решения задачи помогут пункты 1 и 3 в разделе 11.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.

Для решения задачи поможет пункт 3 в разделе 11.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Для решения задачи поможет раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Во сколько раз увеличится объём шара, если его радиус увеличить в три раза?

Для решения задачи используйте разделе 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Вписанные тела вращения

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Куб описан около сферы радиуса 1. Найдите объём куба.

Для решения задачи используйте пункты 4 и 5 в разделе 1.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 2

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите площадь его поверхности.

Для решения задачи используйте пункты 3 и 5 в разделе 1.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 3

Шар, объём которого равен $6\pi$ , вписан в куб. Найдите объём куба.

Для решения задачи используйте пункты 4 и 5 в разделе 1 и пункт 4 в разделе 11.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Для решения задачи используйте пункты 4 и 5 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 5

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 1. Найдите объём параллелепипеда.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 2 и пункт 4 в разделе 15.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 6

Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 15 и пункт 2 в разделе 20.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 7

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объём параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 15 и пункт 4 в разделе 20.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 8

Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 15 и пункт 2 в разделе 20.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

Цилиндр, объём которого равен 33, описан около шара. Найдите объём шара.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9 и пункт 4 в разделе 11.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 10

Шар, объём которого равен 24, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9 и пункт 4 в разделе 11.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9 и пункт 3 в разделе 11.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 12

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9 и пункт 3 в разделе 11.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 13

Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен $\sqrt{3}$ , а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 21 и пункт 4 в разделе 17.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 14

Цилиндр вписан в правильную треугольную призму. Радиус основания цилиндра равен $\sqrt{3}$ , а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 13 и пункт 2 в разделе 4.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Описанные тела вращения

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9 и пункт 4 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 150. Найдите объём конуса.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9 и пункт 4 в разделе 10.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 3

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $7\sqrt{2}$ . Найдите радиус сферы.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $28\sqrt{2}$ . Найдите образующую конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 28. Найдите объём конуса.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 10 и пункт 4 в разделе 11.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 6. Найдите объём шара.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 10 и пункт 4 в разделе 11.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $3\sqrt{2}$ . Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 3 в разделе 9 и пункт 7 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 8

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $3\sqrt{2}$ . Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 3 в разделе 9 и пункт 7 в разделе 10.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра призмы равны $\dfrac{2}{\pi }$ . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Для решения задачи используйте пункт 5 в разделе 9 и пункт 5 в разделе 15.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра призмы равны 10pt]0pt20pt $\dfrac{5}{\pi }$ . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 5 в разделе 9 и пункт 4 в разделе 14.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен $2\sqrt{3}$ , а высота равна 2.

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 13 и пункты 2 в разделе 4.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Подобие

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Дано два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Для решения задачи используйте раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Объём первого шара в 27 раз больше объёма второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Для решения задачи используйте раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 5

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 6

Объём первого куба в 8 раз больше объёма второго куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

Для решения задачи используйте раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его рёбра увеличить в 2 раза?

Для решения задачи используйте раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все её рёбра увеличить в 2 раза?

Для решения задачи используйте раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его рёбра увеличить в 3 раза?

Для решения задачи используйте раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Во сколько раз увеличится объём правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Для решения задачи используйте разделе 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой станет площадь поверхности призмы, если все её рёбра увеличатся в три раза, а форма останется прежней?

Для решения задачи используйте раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 12

Площадь полной поверхности конуса равна 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

Для решения задачи используйте раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 13

Объём конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объём меньшего конуса.

Для решения задачи используйте раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 14

Площадь основания конуса равна 18. Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, делит его высоту на отрезки длиной 3 и 6, считая от вершины. Найдите площадь сечения конуса этой плоскостью.

Для решения задачи используйте раздел 18.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 15

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Часть объема

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $D$ , $A_1$ , $B$ , $C$ , $B_1$ прямоугольного параллелепипеда
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого ${AB=3}$ , ${AD=4}$ , ${AA_1=5}$ .

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 24.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $B_1$ прямоугольного параллелепипеда
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого ${AB=3}$ , ${AD=3}$ , ${AA_1=4}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $D_1$ прямоугольного параллелепипеда
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого ${AB=4}$ , ${AD=3}$ , ${AA_1=4}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A_1$ , $B$ , $C$ , $C_1$ , $B_1$ прямоугольного параллелепипеда
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого ${AB=4}$ , ${AD=3}$ , ${AA_1=4}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $B_1$ , $C_1$ прямоугольного параллелепипеда
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ , у которого ${AB=5}$ , ${AD=3}$ , ${AA_1=4}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 9. Найдите объём треугольной пирамиды $ABDA_1$ .

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 3 и пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 12. Найдите объём треугольной пирамиды $ABCB_1$ .

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 3 и пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

Найдите объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ , если объём треугольной пирамиды $ABDA_1$ равен 3.

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 3 и пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 2. Найдите объём куба.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 11

Объём куба равен 12. Найдите объём четырёхугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 12

Объём параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 4,5. Найдите объём треугольной пирамиды $AD_1CB_1$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 13

Объём треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении $1 : 2$ , считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объёмов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 14

От треугольной пирамиды, объём которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объём отсечённой треугольной пирамиды.

Для решения задачи поможет пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 15

Объём правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равен 12. Точка $E$ — середина ребра $SB$ . Найдите объём треугольной пирамиды $EABC$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 16

Объём треугольной пирамиды $SABC$ , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ , равен 1. Найдите объём шестиугольной пирамиды.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5 и пункт 6 в разделе 17.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 17

Объём тетраэдра равен 14. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 18

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $A_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ , площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 19

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $A_1$ , $C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ , площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 4 и пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 20

От треугольной призмы, объём которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объём оставшейся части.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 21

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A_1$ , $B_1$ , $B$ , $C$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 22

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ , $A_1$ правильной шестиугольной призмы
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 21.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 23

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ правильной шестиугольной призмы
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 24 и пункт 6 в разделе 17.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 24

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $D$ , $E$ , $A_1$ , $B_1$ , $D_1$ , $E_1$ правильной шестиугольной призмы
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 24 и пункт 6 в разделе 17.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 25

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $D_1$ правильной шестиугольной призмы
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 2.

Для решения задачи используйте пункт 6 в разделе 17.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 26

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$ , $B$ , $C$ , $B_1$ правильной шестиугольной призмы
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ , площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.

Для решения задачи используйте пункт 6 в разделе 17.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Подсказки

Элементы составных многогранников

Задача 1

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Задача 2

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Задача 3

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Задача 4

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Задача 5

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Задача 6

Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Задача 10

Площадь поверхности

Задача 1

Посчитаем количество единичных квадратов, находящихся на данной фигуре: на каждом кубе таких 5, а кубов всего 6.

Задача 2

Правый бок:		Левый бок:
Перед:		Зад:
Низ:		Верх:

Тогда площадь поверхности фигуры будет $S_{пов}=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6+S_7+S_8+S_9+S_{10}$

Задача 10

Если сдвинуть некоторые части грани вперед, вверх и влево соответственно, тогда площадь поверхности трех получившихся фигур будет равна площади поверхности исходного многогранника.

Задача 11

Задача 12

Если маленькие грани подвинуть вперед, вверх и вправо соответственно, тогда площадь поверхности новой фигуры будет равна площади поверхности получившегося параллелепипеда.

$\Rightarrow$

Задача 16

Чтобы найти площадь поверхности данного многогранника, заметим, что если сложить площадь поверхности большого параллелепипеда и площадь поверхности внутренней дырки, то мы получим то, что нужно, но еще посчитаем 2 раза переднюю часть дырки и заднюю часть дырки. Следовательно, чтобы посчитать площадь поверхности данного многогранника, нужно к площади поверхности внешнего параллелепипеда прибавить площадь поверхности внутреннего параллелепипеда а затем дважды вычесть площадь передней и задней граней внутреннего параллелепипеда:
$S_1=2(7\cdot1+5\cdot1+5\cdot7)=2(7+5+35)=94$ , $S_2=2(1\cdot2+1\cdot1+1\cdot1)=2(2+2+1)=10$ , тогда $S=94+10-2(2+2)=96$ .

Задача 17

Правый бок:
Левый бок:
Перед:
Зад:
Верх:
Низ:

Тогда площадь поверхности фигуры будет:

$S_{пов}=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6+S_7+S_8(S_9-S_{10})+(S_{11}-S_{12})$

Объем составного многогранника

Задача 1

Из скольких единичных кубов состоит данная фигура?

Задача 2

Разобьем многогранник на 2 фигуры и найдем объем каждой из них.

Задача 3

Разобьем многогранник на 2 фигуры и найдем объем каждой из них.

Куб

Задача 6

Куб вписан в шар, тогда радиус шара – это половина диагонали куба. Диагональ куба равна $2\sqrt{3}$ , тогда сторона, по формуле диагонали, равна 2, поэтому объем куба равен 8.

Задача 10

Пусть $a$ – сторона куба, тогда площадь поверхности исходного куба равна $6a^2$ , а площадь поверхности нового куба равна $6(a+1)^2=6a^2+54$ .

Задача 12

Задача 13

Параллелепипед

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Cечением данного параллелепипеда является прямоугольник, одна из сторон которого равна ребру $AB$ , а вторая находится по теореме Пифагора.

Задача 10

Cечением данной призмы является прямоугольник, одна из сторон которого равна ребру $AA_1$ , а вторая находится по теореме Пифагора.

Задача 11

Cечением данного параллелепипеда является прямоугольник, одна из сторон которого равна ребру $AA_1$ , а вторая находится по теореме Пифагора.

Задача 12

Cечением данного параллелепипеда является прямоугольник, одна из сторон которого равна ребру $AD$ , а вторая находится по теореме Пифагора.

Задача 13

Перенесем параллельно прямую $CD$ в прямую $CD_1$ , тогда искомый угол – это $\angle A_1C_1D_1$ . Его синус мы можем найти как отношение $A_1D_1$ к $A_1C_1$ (для нахождения $A_1C_1$ используйте теорему Пифагора).

Задача 14

Можно найти ребро параллелепипеда и диагональ основания, а из этого уже найти объем параллелепипеда.

Задача 15

Решение данной задачи состоит из двух частей: найти площадь основания параллелепипеда и найти высоту параллелепипеда. Площадь основания – это площадь ромба с углом $60^{\cdot}$ и стороной 1. Наш ромб состоит из двух правильных треугольников со стороной 1, площадь которых можно найти по формуле 3 в разделе 23. Для того, чтобы найти высоту, опустим ее из вершины и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник $AHA_1$ : угол $A_1AH$ равен $60^{\circ}$ , тогда угол $AA_1H$ равен $30^{\circ}$ . Дано, что $AA_1=2$ , мы знаем, что напротив угла $30^{\circ}$ лежит катет равный половине гипотенузы, тогда $AH=1$ . Найдем $A_1H$ по теореме Пифагора: $2^2=1^2+(A_1H)^2$ , отсюда находим, что $A_1H=\sqrt{3}$ . А дальше уже можно найти площадь основания и объем.

Пирамида

Задача 6

1 способ: Высота $SO$ правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей, тогда точка $O$ – середина $BD$ , найдем длину $BD$ : $BD$ – диагональ квадрата, значит, по формуле диагонали квадрата, ее длина равна $6\sqrt{2}$ , значит длина $DO=3\sqrt{2}$ . Далее по теореме Пифагора для треугольника $DOS$ находим $DS=\sqrt{34}$ , отсюда мы понимаем, что все боковые ребра данной пирамиды равны $\sqrt{34}$ . Теперь необходимо найти площадь боковой поверхности, для этого найдем площадь треугольника $DSA$ , у которого $SD=\sqrt{34}$ , $DH=3$ , по теореме Пифагора находим $SH=5$ , отсюда $S_{гран}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot5=15$ . Найдите площадь всех 4 граней.

2 способ:

Опустим из точки $O$ , основания высоты $SO$ , перпендикуляр на сторону $AB$ , $OH$ – проекция $SH$ на плоскость $ABCD$ . $OH\perp AB$ , значит по теореме о трех перпендикулярах $SH\perp AB$ , значит $SH$ –высота грани. Найдем $SH$ из треугольника $SOH$ , если $OH=3$ , а $SO=4$ , то $SH=5$ , отсюда площадь поверхности пирамиды равна $S_{пов}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot6\cdot4=60$ .

Задача 7

См. подсказку к 6 задаче.

Задача 13

Высота падает в точку пересечения диагоналей, значит диагональ равна удвоенному отрезку, который можно найти по теореме Пифагора. А далее, зная диагональ квадрата, можно найти сторону квадрата и, соответственно, площадь квадрата, лежащего в основании пирамиды.

Задача 14

Запишем теорему Пифагора для треугольника $BAD$ : $BD^2=AB^2+AD^2$ . Так как высота пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания, и диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, то $BO=\frac{1}{2}BD$ . По теореме Пифагора для треугольника $SOB$ : $SB^2=SO^2+OB^2$ . Таким образом мы сможем найти высоту $SO$ , а затем высоту пирамиды.

Задача 18

Решение данной задачи состоит из двух частей: найти площадь основания пирамиды и высоту пирамиды. Площадь основания – это площадь правильного шестиугольника, ее можно найти по формуле 5 в разделе 17. Высоту пирамиды можно найти, если вспомнить, что $MH$ – радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности.

Задача 22

$M_1M_2\parallel BD\parallel M_3M_4$ , $M_1M_4\parallel AC\parallel M_2M_3$ , тогда раз $AC\perp BD$ (исходя из раздела 22),
то $M_1M_2 \perp M_1M_4$ . Поскольку, $M_1M_2\parallel M_3M_4$ , а $M_1M_4\parallel M_2M_3$ , а также
$M_1M_2 = M_3M_4=\frac{1}{2}BD$ , а $M_1M_4 = M_2M_3=\frac{1}{2}AC$ , то фигура является ромбом, а ромб с прямым углом – это квадрат.

Задача 23

Искомая фигура является октаэдром, площадь поверхности которого состоит из четырех пар равных треугольников.

Закрашенные грани октаэдра – это четверть соответствующей закрашенной грани тетраэдра. Поэтому площадь поверхности октаэдра – это $\frac{2}{4}$ каждой грани, то есть $\dfrac{1}{2}$ площади поверхности тетраэдра.

Задача 24

Переверните данную пирамиду так, чтобы она оказалась на основании $SBC$ .

Задача 25

$\angle SAH$ , $\angle SDH$ и $\angle SLH$ – это угла наклона граней $SAB$ , $SDC$ и $SBC$ к плоскости основания. Зная, что $SH=6$ , найдем $AH$ , $HD$ и $HL$ по теореме Пифагора. $HL=x$ , $SL=2x$ , тогда $6^2+x^2=(2x)^2$ , отсюда находим, что $x=2\sqrt{3}$ . А дальше уже можно найти площадь основания и объем.

Призма

Задача 6

Перенесем параллельно прямую $CC_1$ в прямую $BB_1$ , тогда искомый угол – это $\angle AB_1B$ . Его синус мы можем найти как отношение $AB$ к $AB_1$ (для нахождения $AB_1$ используйте теорему Пифагора).

Задача 7

Перенесем параллельно прямую $AA_1$ в прямую $CC_1$ , тогда искомый угол – это $\angle CC_1B$ . Его синус мы можем найти как отношение $CB$ к $BC_1$ (для нахождения $BC_1$ используйте теорему Пифагора).

Задача 8

Все боковые грани стали в 2 раза меньше.

Также можно заметить, что все основания стали в 4 раза меньше, но для решения нашей задачи это неважно.

Задача 9

Все боковые грани стали в 2 раза меньше.

Также можно заметить, что все основания стали в 4 раза меньше, но для решения нашей задачи это неважно.

Задача 10

Заметим, что наша призма состоит из четырех отрезанных призм.

Задача 11

Заметим, что наша призма состоит из четырех отрезанных призм.

Задача 12

Если $2300$ $\textrm{cм}^3$ воды соответствует уровень жидкости равный 25 см. Найдем, какой объем соответствует новому уровню жидкости в 27 см. Пусть $x$ – это объем, соответствующий новому уровню жидкости, тогда $\dfrac{2300}{25}=\dfrac{x}{27}$ , значит $25x=62100$ , а $x=2484$ . Следовательно, объем детали – это новый объем минус старый объем.

Задача 16

Пусть $a$ – сторона основания четырехугольной призмы, а $h$ – ее высота. Запишем площадь поверхности: $2a\cdot a+4a\cdot h=2a^2+4ah=2\cdot20^2+4\cdot20\cdot h=800+80h=1760$

Задача 17

Рассмотрим треугольник $A_1OD_1$ : так как $A_1C$ в два раза больше $BC$ , то $CO=BC$ и аналогично $BO=BC$ , так как в правильной четырехугольной призме диагонали равны, значит треугольник $BOC$ равносторонний.

Задача 20

Рассмотрим основание $ABCDEF$ : по свойству правильного шестиугольника $BE=2\sqrt{5}$ . Далее рассмотрим сторону $BB_1EE_1$ и по теореме Пифагора найдем $BE_1$ .

Задача 22

Задача 23

Задача 24

Опустим из вершины $A_1$ призмы высоту на основание, рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1H$ : угол $A_1AH$ равен $30^{\circ}$ , мы знаем, что $AA_1=2\sqrt{3}$ , тогда напротив угла $30^{\circ}$ лежит катет равный половине гипотенузы равный, соответственно $\sqrt{3}$ , так мы получаем, что $AH=\sqrt{3}$ . Площадь основания - это площадь правильного шестиугольника, которая находится по формуле $S=\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ . Посчитайте объем призмы.

Цилиндр

Задача 6

Пусть $6$ $\textrm{cм}^3$ воды соответствует уровень жидкости равный $x$ см. Найдем, какой объем соответствует новому уровню жидкости в $1,5x$ см. Пусть $y$ – это объем, соответствующий новому уровню жидкости, тогда $\dfrac{6}{x}=\dfrac{y}{1,5x}$ , значит $xy=9x$ , а $y=9$ . Следовательно, объем детали – это новый объем минус старый объем.

Задача 7

Если $2000$ $\textrm{cм}^3$ воды соответствует уровень жидкости равный 12 см. Найдем, какой объем соответствует новому уровню жидкости в $12+9=21$ см. Пусть $x$ – это объем, соответствующий новому уровню жидкости, тогда $\dfrac{2000}{12}=\dfrac{x}{21}$ , значит $12x=42000$ , а $x=3500$ . Следовательно, объем детали – это новый объем минус старый объем.

Задача 9

Если высота первого цилиндра $h$ , то у второго цилиндра высота $3h$ . Если радиус основания первого цилиндра $R$ , то у второго цилиндра радиус $\frac{R}{2}$ . Запишем объем второго цилиндра $\pi\cdot\left(\frac{R}{2}\right)^2\cdot3h=\dfrac{3}{4}\pi R^2h$ . А объем первого цилиндра $\pi R^2h=12$ . Найдем объем второго.

Задача 10

Если высота первого цилиндра $h$ , то у второго цилиндра высота $\frac{h}{2}$ . Если радиус основания первого цилиндра $R$ , то у второго цилиндра радиус $1,5R$ . Запишем объем первого цилиндра: $\pi R^2h$ , а затем объем второго: $\pi (1,5R)^2\cdot\dfrac{h}{2}$ . А теперь найдем отношение второго к первому, то есть поделим объем второго на объем первого.

Конус

Задача 9

Площадь боковой поверхности конуса равна $S_{бок}=\pi Rl$ , если радиус уменьшится в 2 раза, то есть станет равен $\dfrac{R}{2}$ , тогда площадь новой боковой поверхности будет $S_{пов}=\dfrac{\pi Rl}{2}$ .

Задача 10

Посмотрим, как изменится площадь основания: изначально площадь была $\pi R^2$ , а стала $\pi \cdot(46R)^2=2116\pi R^2$ .

Задача 11

Площадь боковой поверхности конуса равна $S_{бок}=\pi Rl$ , если образующая увеличится в 3 раза, то она станет равно $3l$ , тогда площадь новой боковой поверхности будет $S_{пов}=3\pi Rl$ .

Задача 12

Конус, в который налита вода, подобен исходному конусу с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$ , значит полный объем жидкости, вмещающийся в исходный конус в 8 раз больше уже налитой жидкости.

Задача 13

Как связаны радиус основания конуса и образующая конуса?

Шар

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Вписанные тела вращения

Задача 1

Сторона куба – это удвоенный радиус сферы.

Задача 2

Единственный прямоугольный параллелепипед, в который можно вписать сферу – это куб, значит наш прямоугольный параллелепипед является кубом, ребро которого равно удвоенному радиусу сферы, то есть равно 2. Далее найдем площадь поверхности куба по формуле площади поверхности куба.

Задача 6

Найдем сторону основания правильной четырехугольной призмы. Для этого заметим, что основание призмы – это квадрат, куда вписана окружность радиуса 1, тогда сторона квадрата равна 2.

Задача 9

Высота цилиндра равна двум радиусам шара. Радиус основания цилиндра равен радиусу шара. Запишем объем цилиндра: $V_{цил}=S_{осн}h=\pi R^2\cdot2R=2\pi R^3=33$ . А объем шара равен $V_{шар}=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ . Выразите из объема цилиндра $\pi R^3$ подставьте в объем шара.

Задача 10

Высота цилиндра равна двум радиусам шара, радиус основания цилиндра равен радиусу шара, запишем объем шара: $V_{шар}=\dfrac{4}{3}\pi R^3=24$ . А объем цилиндра равен
$V_{цил}=S_{осн}h=\pi R^2\cdot2R=2\pi R^3$ . Попробуйте выразить из этого объем цилиндра.

Задача 11

Поскольку высота цилиндра – это удвоенный радиус окружности, а радиус окружности совпадает с радиусом цилиндра. Площадь поверхности шара равна
$S_{шар}=4\pi R^2=111$ , тогда $\pi R^2=\frac{111}{4}$ . Найдем площадь поверхности цилиндра по формулы $S_{цил}=2\pi R^2+2\pi R\cdot 2R$ .

Задача 12

Поскольку высота цилиндра – это удвоенный радиус окружности, а радиус окружности совпадает с радиусом цилиндра, значит площадь поверхности цилиндра равна
$S_{цил}=2\pi R^2+2\pi R\cdot 2R=6\pi R^2=18$ , тогда $\pi R^2=3$ . Найдем площадь поверхности шара по формулы $S_{шар}=4\pi R^2$ .

Описанные тела вращения

Задача 1

Объем конуса равен: $V_{кон}=\dfrac{\pi R^2}{3}\cdot h$

Объем цилиндра равен: $V_{цил}=\pi R^2h$

Как мы видим, объем цилиндра в 3 раза больше объема конуса.

Задача 5

Высота конуса и радиус основания конуса равны радиусу шара, запишем объем шара: $V_{шар}=\dfrac{4}{3}\pi R^3=28$ . А объем конуса равен $V_{кон}=\dfrac{1}{3}S_{осн}h=\dfrac{1}{3}\pi R^2\cdot R=\dfrac{1}{3}\pi R^3$ . Попробуйте выразить из этого объем конуса.

Задача 6

Высота конуса и радиус основания конуса равны радиусу шара, запишем объем конуса: $V_{кон}=\dfrac{1}{3}S_{осн}h=\dfrac{1}{3}\pi R^2\cdot R=\dfrac{1}{3}\pi R^3=6$ . А объем шара равен $V_{шар}=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ . Попробуйте выразить из этого объем шара.

Задача 7

Учитывая, что высота цилиндра равна радиусу основанию, площадь боковой поверхности цилиндр равна $S_{цил}=2\pi R\cdot R=2\pi R^2=3\sqrt{2}$ , тогда $\pi R^2=1,5\sqrt{2}$ . Найдем образующую конуса через высоту и радиус основания цилиндра, учитывая, что высота равна радиусу основания: $l^2=R^2+R^2=2R^2$ , значит $l=R\sqrt{2}$ . Тогда площадь боковой поверхности конуса равно $S_{кон}=\pi R\cdot R\sqrt{2}=\pi R^2\sqrt{2}$ . Подставим $R$ и найдем площадь боковой поверхности конуса.

Задача 8

Найдем образующую конуса через высоту и радиус основания, учитывая, что высота равна радиусу основания: $l^2=R^2+R^2=2R^2$ , тогда $l=R\sqrt{2}$ . Площадь боковой поверхности конуса равна $S_{кон}=\pi R\cdot R\sqrt{2}=3\sqrt{2}$ , тогда $\pi R^2=3$ . Подставим $R$ и найдем площадь боковой поверхности цилиндра.

Подобие

Задача 14

Полученный конус подобен исходному с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{3}$ .

Задача 15

Конуса, в который налита вода подобен исходному конусу с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$ , значит полный объем жидкости, вмещающийся в исходный конус в 8 раз больше уже налитой жидкости.

Часть объема

Задача 1

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 2

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 3

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 4

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 5

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 6

У параллелепипеда и пирамиды одинаковая высота. Площадь основания пирамиды – это половина площади основания параллелепипеда, а объем пирамида – это
$S_{пирам}=\dfrac{1}{3}S_{ABD}\cdot h=\dfrac{1}{3}\dfrac{S_{ABCD}}{2}\cdot h=\dfrac{1}{6}S_{ABCD}\cdot h$ , а по условию $S_{ABCD}\cdot h=9$ .

Задача 8

Объем пирамиды равен $S_{пирам.}=\frac{1}{3} S_{осн.}\cdot h$ , объем параллелепипеда равен $S_{пар.}=S_{осн.}\cdot h$ . У пирамиды и параллелепипеда одинаковые высоты, опущенные из вершины $A_1$ , при этом площадь основание параллелепипеда в 2 раза больше площади основания пирамиды, поэтому объем параллелепипеда в 6 раз больше объема пирамиды.

Задача 9

Данный куб можно разделить на 8 одинаковых призм.

Вид сбоку: Вид сверху:

Задача 10

Данный куб можно разделить на 8 одинаковых призм.

Вид сбоку: Вид сверху:

Задача 11

Заметим, что данный куб состоит из 6 таких пирамид.

Задача 12

Данная фигура получается, если от параллелепипеда отсечь четыре пирамиды $AA_1D_1B_1$ , $CC_1D_1B_1$ , $B_1ABC$ и $D_1ADC$ . Объем каждой из этих пирамид равна $S=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot h$ , где высота такая же как и у параллелепипеда, основание в 2 раза меньше, чем у параллелепипеда, значит объем каждой такой пирамиды равен $\frac{1}{6}$ площади параллелепипеда, следовательно нужно вычесть из объема параллелепипеда $\frac{4}{6}$ от его объема.

Задача 17

Данная фигура получается из исходного тетраэдра путем отрезания четырех одинаковых тетраэдров сверху, спереди, справа и слева. По подобию мы понимаем, что каждый тетраэдр подобен данному с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$ , тогда объем каждого тетраэдра в 8 раз меньше объема исходного тетраэдра.

Задача 18

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 19

Искомая фигура – это четырехугольная пирамида. Можно найти объем исходной призмы и вычесть из нее объем пирамиды $BB_1C_1A_1$ , а можно сказать, что высотой искомой четырехугольной пирамиды будет являться перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на $AC$ , а основание $AA_1CC_1$ . Находим основание, находим высоту и получаем объем.

Задача 20

Данная фигура получается, если отрезать от призмы треугольную пирамиду, объем этой треугольной пирамиды равен $S_{пирам.}=\frac{1}{3}S_{осн.}\cdot h$ . Площадь основания и высота этой пирамиды такие же, как у призмы, значит объем треугольной пирамиды в 3 раза меньше объема призмы за счет коэффициента $\frac{1}{3}$ . А объем искомой фигуры равен объему призы минус объем треугольной пирамиды.

Задача 21

Заметим, что фигура, построенная на данных вершинах – это треугольная пирамида, но для того, чтобы найти ее объем, найдем объем пирамиды $A_1C_1CB_1$ и объем пирамиды $ACBA_1$ . А дальше из объема исходной пирамиды вычтем два наших объема.

Задача 22

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 23

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 24

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 25

Какая фигура построена на данных вершинах?

Задача 26

Какая фигура построена на данных вершинах?

Ответы

Элементы составных многогранников

— 11;
— 17;
— 14;
— 3;
— 3;
— 6;
— 2;
— 3;
— 3;
— 2.

Площадь поверхности

— 30;
— 18;
— 76;
— 92;
— 14;
— 162;
— 48;
— 84;
— 124;
— 156;
— 152;
— 110;
— 94;
— 132;
— 114;
— 96;
— 7,5.

Объем составного многогранника

— 7;
— 8;
— 56;
— 7;
— 40;
— 18;
— 24;
— 104;
— 78;
— 87;
— 114;
— 34;
— 78;
— 36;
— 90.

Куб

— 24;
— 2;
— 8;
— 3;
— 8;
— 8;
— 9;
— 27;
— 6;
— 4;
— 2;
— 60;
— 60.

Параллелепипед

— 3;
— 22;
— 4;
— 1;
— 64;
— 32;
— 45;
— 45;
— 39;
— 120;
— 572;
— 5;
— 0,6;
— 4;
— 1,5.

Пирамида

— 5;
— 4;
— 6;
— 340;
— 360;
— 60;
— 96;
— 0,25;
— 4;
— 3;
— 24;
— 4;
— 256;
— 24;
— 13;
— 12;
— 7;
— 48;
— 4;
— 6,5;
— 0,25;
— 0,25;
— 6;
— 4,5;
— 48.

Призма

— 288;
— 5;
— 120;
— 10;
— 4;
— 60;
— 45;
— 12;
— 16;
— 8;
— 20;
— 184;
— 5;
— 248;
— 10;
— 12;
— 60;
— 300;
— 4,5;
— 5;
— 2;
— 2;
— 60;
— 18.

Цилиндр

— 6;
— 2;
— 2;
— 2;
— 12;
— 3;
— 1500;
— 4;
— 9;
— 1,125.

Конус

— 5;
— 6;
— 4;
— 48;
— 48;
— 24;
— 3;
— 3;
— 2;
— 2116;
— 3;
— 490;
— 60.

Шар

— 3;
— 12;
— 10;
— 4;
— 27.

Вписанные тела вращения

— 8;
— 24;
— 36;
— 3;
— 4;
— 8;
— 0,25;
— 3;
— 22;
— 36;
— 166,5;
— 12;
— 24;
— 36.

Описанные тела вращения

— 75;
— 50;
— 7;
— 56;
— 7;
— 24;
— 3;
— 6;
— 4;
— 125;
— 36.

Подобие

— 4;
— 27;
— 9;
— 9;
— 27;
— 4;
— 4;
— 4;
— 9;
— 8;
— 54;
— 3;
— 2;
— 2;
— 490.

Часть объема

— 30;
— 6;
— 8;
— 16;
— 10;
— 1,5;
— 2;
— 18;
— 1,5;
— 16;
— 2;
— 1,5;
— 10;
— 3;
— 3;
— 6;
— 7;
— 2;
— 4;
— 4;
— 4;
— 4;
— 3;
— 8;
— 6;
— 1.