32 Призма

Призма

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро призмы равно 10. Найдите площадь её поверхности.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 2 в разделе 24.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ стороны оснований равны 2, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер $AB$ , $AC$ , $A_1B_1$ и $A_1C_1$ .

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 28.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро призмы равно 5. Найдите объём призмы.

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 24 и пункт 1 в разделе 23.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 4

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь её поверхности равна 288. Найдите боковое ребро призмы.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 2 в разделе 24.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5, объём призмы равен 30. Найдите боковое ребро призмы.

Для решения задачи поможет пункт 3 в разделе 24.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ известно, что $AB=\sqrt{3}AA_1$ . Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $CC_1$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ все рёбра равны 3. Найдите угол между прямыми $AA_1$ и $BC_1$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

Площадь боковой поверхности прямоугольной треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсеченной треугольной призмы.

Для решения задачи используйте раздел 28.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объём отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объём исходной призмы.

Для решения задачи используйте раздел 28.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 12

В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили $2300$ $\textrm{cм}^3$ воды и полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 4.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 13

В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, уровень жидкости достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить в другой сосуд такой же формы, сторона основания которого в 4 раза больше, чем у первого? Ответ дайте в сантиметрах.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 4.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 14

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 2 в разделе 24 и пункт 3 в разделе 27.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 15

В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь её поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 2 в разделе 24 и пункт 3 в разделе 27.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 16

Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, если сторона её основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 20.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 17

В правильной четырёхугольной призме
$ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что ${AC_1=2BC}$ . Найдите угол между диагоналями $BD_1$ и $A_1C$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 18

Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 5, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 21.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 19

Найдите объём правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны $\sqrt{3}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 21.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 20

В правильной шестиугольной призме
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны $\sqrt{5}$ . Найдите расстояние между точками $B$ и $E_1$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 21

В правильной шестиугольной призме
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны 1. Найдите расстояние между точками $A$ и $E_1$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 22

В правильной шестиугольной призме
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны 1. Найдите тангенс угла $AD_1D$ .

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 23

В правильной шестиугольной призме
$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны 1. Найдите угол $AC_1C$ . Ответ дайте в градусах.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 24

Найдите объём призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые рёбра равны $2\sqrt{3}$ и наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$ .

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Призма

Задача 6

Перенесем параллельно прямую $CC_1$ в прямую $BB_1$ , тогда искомый угол – это $\angle AB_1B$ . Его синус мы можем найти как отношение $AB$ к $AB_1$ (для нахождения $AB_1$ используйте теорему Пифагора).

Задача 7

Перенесем параллельно прямую $AA_1$ в прямую $CC_1$ , тогда искомый угол – это $\angle CC_1B$ . Его синус мы можем найти как отношение $CB$ к $BC_1$ (для нахождения $BC_1$ используйте теорему Пифагора).

Задача 8

Все боковые грани стали в 2 раза меньше.

Также можно заметить, что все основания стали в 4 раза меньше, но для решения нашей задачи это неважно.

Задача 9

Все боковые грани стали в 2 раза меньше.

Также можно заметить, что все основания стали в 4 раза меньше, но для решения нашей задачи это неважно.

Задача 10

Заметим, что наша призма состоит из четырех отрезанных призм.

Задача 11

Заметим, что наша призма состоит из четырех отрезанных призм.

Задача 12

Если $2300$ $\textrm{cм}^3$ воды соответствует уровень жидкости равный 25 см. Найдем, какой объем соответствует новому уровню жидкости в 27 см. Пусть $x$ – это объем, соответствующий новому уровню жидкости, тогда $\dfrac{2300}{25}=\dfrac{x}{27}$ , значит $25x=62100$ , а $x=2484$ . Следовательно, объем детали – это новый объем минус старый объем.

Задача 16

Пусть $a$ – сторона основания четырехугольной призмы, а $h$ – ее высота. Запишем площадь поверхности: $2a\cdot a+4a\cdot h=2a^2+4ah=2\cdot20^2+4\cdot20\cdot h=800+80h=1760$

Задача 17

Рассмотрим треугольник $A_1OD_1$ : так как $A_1C$ в два раза больше $BC$ , то $CO=BC$ и аналогично $BO=BC$ , так как в правильной четырехугольной призме диагонали равны, значит треугольник $BOC$ равносторонний.

Задача 20

Рассмотрим основание $ABCDEF$ : по свойству правильного шестиугольника $BE=2\sqrt{5}$ . Далее рассмотрим сторону $BB_1EE_1$ и по теореме Пифагора найдем $BE_1$ .

Задача 22

Задача 23

Задача 24

Опустим из вершины $A_1$ призмы высоту на основание, рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1H$ : угол $A_1AH$ равен $30^{\circ}$ , мы знаем, что $AA_1=2\sqrt{3}$ , тогда напротив угла $30^{\circ}$ лежит катет равный половине гипотенузы равный, соответственно $\sqrt{3}$ , так мы получаем, что $AH=\sqrt{3}$ . Площадь основания - это площадь правильного шестиугольника, которая находится по формуле $S=\frac{3\sqrt{3}a^2}{2}$ . Посчитайте объем призмы.

Призма

— 288;
— 5;
— 120;
— 10;
— 4;
— 60;
— 45;
— 12;
— 16;
— 8;
— 20;
— 184;
— 5;
— 248;
— 10;
— 12;
— 60;
— 300;
— 4,5;
— 5;
— 2;
— 2;
— 60;
— 18.