33 Вписанные тела вращения

Вписанные тела вращения

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Куб описан около сферы радиуса 1. Найдите объём куба.

Для решения задачи используйте пункты 4 и 5 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 2

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите площадь его поверхности.

Для решения задачи используйте пункты 3 и 5 в разделе 1.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 3

Шар, объём которого равен $6\pi$ , вписан в куб. Найдите объём куба.

Для решения задачи используйте пункты 4 и 5 в разделе 1 и пункт 4 в разделе 11.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Для решения задачи используйте пункты 4 и 5 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 5

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 1. Найдите объём параллелепипеда.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 2 и пункт 4 в разделе 15.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 6

Цилиндр вписан в правильную четырёхугольную призму. Радиус основания и высота цилиндра равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 15 и пункт 2 в разделе 20.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 7

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объём параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 15 и пункт 4 в разделе 20.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 8

Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 15 и пункт 2 в разделе 20.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

Цилиндр, объём которого равен 33, описан около шара. Найдите объём шара.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9 и пункт 4 в разделе 11.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 10

Шар, объём которого равен 24, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9 и пункт 4 в разделе 11.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9 и пункт 3 в разделе 11.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 12

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 9 и пункт 3 в разделе 11.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 13

Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму. Радиус основания цилиндра равен $\sqrt{3}$ , а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 21 и пункт 4 в разделе 17.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 14

Цилиндр вписан в правильную треугольную призму. Радиус основания цилиндра равен $\sqrt{3}$ , а высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Для решения задачи используйте пункт 2 в разделе 13 и пункт 2 в разделе 4.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Вписанные тела вращения

Задача 1

Сторона куба – это удвоенный радиус сферы.

Задача 2

Единственный прямоугольный параллелепипед, в который можно вписать сферу – это куб, значит наш прямоугольный параллелепипед является кубом, ребро которого равно удвоенному радиусу сферы, то есть равно 2. Далее найдем площадь поверхности куба по формуле площади поверхности куба.

Задача 6

Найдем сторону основания правильной четырехугольной призмы. Для этого заметим, что основание призмы – это квадрат, куда вписана окружность радиуса 1, тогда сторона квадрата равна 2.

Задача 9

Высота цилиндра равна двум радиусам шара. Радиус основания цилиндра равен радиусу шара. Запишем объем цилиндра: $V_{цил}=S_{осн}h=\pi R^2\cdot2R=2\pi R^3=33$ . А объем шара равен $V_{шар}=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ . Выразите из объема цилиндра $\pi R^3$ подставьте в объем шара.

Задача 10

Высота цилиндра равна двум радиусам шара, радиус основания цилиндра равен радиусу шара, запишем объем шара: $V_{шар}=\dfrac{4}{3}\pi R^3=24$ . А объем цилиндра равен
$V_{цил}=S_{осн}h=\pi R^2\cdot2R=2\pi R^3$ . Попробуйте выразить из этого объем цилиндра.

Задача 11

Поскольку высота цилиндра – это удвоенный радиус окружности, а радиус окружности совпадает с радиусом цилиндра. Площадь поверхности шара равна
$S_{шар}=4\pi R^2=111$ , тогда $\pi R^2=\frac{111}{4}$ . Найдем площадь поверхности цилиндра по формулы $S_{цил}=2\pi R^2+2\pi R\cdot 2R$ .

Задача 12

Поскольку высота цилиндра – это удвоенный радиус окружности, а радиус окружности совпадает с радиусом цилиндра, значит площадь поверхности цилиндра равна
$S_{цил}=2\pi R^2+2\pi R\cdot 2R=6\pi R^2=18$ , тогда $\pi R^2=3$ . Найдем площадь поверхности шара по формулы $S_{шар}=4\pi R^2$ .

Вписанные тела вращения

— 8;
— 24;
— 36;
— 3;
— 4;
— 8;
— 0,25;
— 3;
— 22;
— 36;
— 166,5;
— 12;
— 24;
— 36.