3 Параллелепипед

Параллелепипед

Любую грань параллелепипеда можно назвать нижним основанием, тогда противолежащая грань будет верхним основанием, а все остальные грани – боковыми гранями.

1. Площадь поверхности параллелепипеда – сумма площадей всех граней.

S=2S_{осн}+S_{бок}

2. Объем параллелепипеда находится по формуле

V=S_{осн}\cdot h

Параллелепипед

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $DD_1=1$ , $CD=2$ , $AD=2$ . Найдите длину диагонали $CA_1$ .

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 1, 2, 3. Найдите площадь его поверхности.

Для решения задачи используйте пункт 3 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объём параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 4

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $BD_1=3$ , $CD=2$ , $AD=2$ . Найдите длину ребра $AA_1$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 1 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 3 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объём параллелепипеда.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 4 в разделе 2.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Найдите угол $ABD_1$ прямоугольного параллелепипеда, для которого $AB=5$ , $AD=4$ , $AA_1=3$ . Ответ дайте в градусах.

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=4$ , $AD=3$ , $AA_1=5$ . Найдите угол $DBD_1$ . Ответ дайте в градусах.

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 2.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=3$ , $AD=5$ , $AA_1=12$ . Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $A$ , $B$ и $C_1$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

В правильной четырёхугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AA_1$ равно 15, а диагональ $BD_1$ равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $A$ , $A_1$ и $C$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=24$ , $AD=10$ , $AA_1=22$ . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины $A$ , $A_1$ и $C$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 12

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребро $AB=2$ , ребро $AD=\sqrt{5}$ , ребро $AA_1=2$ . Точка $K$ — середина ребра $BB_1$ . Найдите площадь сечения, проходящего через точки $A_1$ , $D_1$ и $K$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 13

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=8$ , $AD=6$ , $AA_1=21$ . Найдите синус угла между прямыми $CD$ и $A_1C_1$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 14

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна $\sqrt{8}$ и образует с плоскостью этой грани угол $45^\circ$ . Найдите объём параллелепипеда.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 4 в разделе 2, теорему Пифагора и раздел 12.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 15

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом $60^\circ$ . Одно из рёбер параллелепипеда составляет с плоскостью этой грани угол $60^\circ$ и равно 2. Найдите объём параллелепипеда.

Для решения задачи помогут пункты 2 в разделе 3 и 3 в разделе 23.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Параллелепипед

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Cечением данного параллелепипеда является прямоугольник, одна из сторон которого равна ребру $AB$ , а вторая находится по теореме Пифагора.

Задача 10

Cечением данной призмы является прямоугольник, одна из сторон которого равна ребру $AA_1$ , а вторая находится по теореме Пифагора.

Задача 11

Cечением данного параллелепипеда является прямоугольник, одна из сторон которого равна ребру $AA_1$ , а вторая находится по теореме Пифагора.

Задача 12

Cечением данного параллелепипеда является прямоугольник, одна из сторон которого равна ребру $AD$ , а вторая находится по теореме Пифагора.

Задача 13

Перенесем параллельно прямую $CD$ в прямую $CD_1$ , тогда искомый угол – это $\angle A_1C_1D_1$ . Его синус мы можем найти как отношение $A_1D_1$ к $A_1C_1$ (для нахождения $A_1C_1$ используйте теорему Пифагора).

Задача 14

Можно найти ребро параллелепипеда и диагональ основания, а из этого уже найти объем параллелепипеда.

Задача 15

Решение данной задачи состоит из двух частей: найти площадь основания параллелепипеда и найти высоту параллелепипеда. Площадь основания – это площадь ромба с углом $60^{\cdot}$ и стороной 1. Наш ромб состоит из двух правильных треугольников со стороной 1, площадь которых можно найти по формуле 3 в разделе 23. Для того, чтобы найти высоту, опустим ее из вершины и рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник $AHA_1$ : угол $A_1AH$ равен $60^{\circ}$ , тогда угол $AA_1H$ равен $30^{\circ}$ . Дано, что $AA_1=2$ , мы знаем, что напротив угла $30^{\circ}$ лежит катет равный половине гипотенузы, тогда $AH=1$ . Найдем $A_1H$ по теореме Пифагора: $2^2=1^2+(A_1H)^2$ , отсюда находим, что $A_1H=\sqrt{3}$ . А дальше уже можно найти площадь основания и объем.

Параллелепипед

— 3;
— 22;
— 4;
— 1;
— 64;
— 32;
— 45;
— 45;
— 39;
— 120;
— 572;
— 5;
— 0,6;
— 4;
— 1,5.