8 Пирамида

Пирамида

В дальнейших рассуждениях, мы будем рассматривать четырехугольную пирамиду $SABCD$ , для других пирамид формулы аналогичны.

1. Площадь основания равна площади фигуры, лежащей в основании пирамиды:

S_{осн}=S_{ABCD}

2. Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех боковых граней.

S_{бок}=S_{ABS}+S_{ADS}+S_{CDS}+S_{BCS}

3. Площадь поверхности пирамиды – это сумма площадей всех граней этой пирамиды.

S=S_{осн}+S_{бок}

4. Объем пирамиды находится по формуле

V=\dfrac{1}{3}S_{осн}\cdot h

5. В пирамиде, у которой все боковые ребра равны, высота падает в центр описанной

окружности основания.

6. В пирамиде, у которой все боковые грани одинаково наклонены к плоскости

основания, высота падает в центр вписанной окружности основания.

*Грани называются одинаково наклоненными к плоскости основания, если все

двугранные углы между боковыми гранями и плоскостью основания одинаковые.

Пирамида

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания, $S$ — вершина, $SO=4$ , $AC=6$ . Найдите боковое ребро $SC$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания, $S$ — вершина, $SC=5$ , $AC=6$ . Найдите длину отрезка $SO$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания, $S$ — вершина, $SO=4$ , $SC=5$ . Найдите длину отрезка $AC$ .

Для решения задачи используйте теорему Пифагора.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 4

Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 3 в разделе 7.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 5

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 2 в разделе 8.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 6

Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а высота равна 4.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 2 в разделе 7 и пункт 2 в разделе 15.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Найдите площадь поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6, а высота равна 4.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 3 в разделе 7 и пункт 2 в разделе 15.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна $\sqrt{3}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 19.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 9

Во сколько раз увеличится объём пирамиды, если её высоту увеличить в четыре раза?

Для решения задачи поможет пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объём равен $\sqrt{3}$ .

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 19.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4, а её высота равна 6. Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте пункт 4 разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 12

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Её объём равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 5.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 13

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите её объём.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 4 в разделе 7.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 14

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ боковое ребро $SA$ равно 5, сторона основания равна $3\sqrt{2}$ . Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 4 в разделе 7.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 15

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12, объём равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 4 в разделе 7.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 16

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 4 в разделе 8.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 17

Объём правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 4 в разделе 8.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 18

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен $45^\circ$ . Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 8 и пункт 4 в разделе 17.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 19

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а сторона основания равна $3\sqrt{3}$ . Найдите высоту пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 3 в разделе 13.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 20

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 4,5. Найдите высоту пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 3 в разделе 13.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 21

В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 28.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 22

Рёбра правильного тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырёх его рёбер.

Для решения задачи используйте пункт 1 в разделе 28.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 23

Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 24

Боковые рёбра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора, пункт 4 в разделе 19 и пункт 3 в разделе 13.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 25

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$ . Высота пирамиды равна 6. Найдите объём пирамиды.

Для решения задачи используйте теорему Пифагора и пункт 4 в разделе 5.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Пирамида

Задача 6

1 способ: Высота $SO$ правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей, тогда точка $O$ – середина $BD$ , найдем длину $BD$ : $BD$ – диагональ квадрата, значит, по формуле диагонали квадрата, ее длина равна $6\sqrt{2}$ , значит длина $DO=3\sqrt{2}$ . Далее по теореме Пифагора для треугольника $DOS$ находим $DS=\sqrt{34}$ , отсюда мы понимаем, что все боковые ребра данной пирамиды равны $\sqrt{34}$ . Теперь необходимо найти площадь боковой поверхности, для этого найдем площадь треугольника $DSA$ , у которого $SD=\sqrt{34}$ , $DH=3$ , по теореме Пифагора находим $SH=5$ , отсюда $S_{гран}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot5=15$ . Найдите площадь всех 4 граней.

2 способ:

Опустим из точки $O$ , основания высоты $SO$ , перпендикуляр на сторону $AB$ , $OH$ – проекция $SH$ на плоскость $ABCD$ . $OH\perp AB$ , значит по теореме о трех перпендикулярах $SH\perp AB$ , значит $SH$ –высота грани. Найдем $SH$ из треугольника $SOH$ , если $OH=3$ , а $SO=4$ , то $SH=5$ , отсюда площадь поверхности пирамиды равна $S_{пов}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot6\cdot4=60$ .

Задача 7

См. подсказку к 6 задаче.

Задача 13

Высота падает в точку пересечения диагоналей, значит диагональ равна удвоенному отрезку, который можно найти по теореме Пифагора. А далее, зная диагональ квадрата, можно найти сторону квадрата и, соответственно, площадь квадрата, лежащего в основании пирамиды.

Задача 14

Запишем теорему Пифагора для треугольника $BAD$ : $BD^2=AB^2+AD^2$ . Так как высота пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания, и диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, то $BO=\frac{1}{2}BD$ . По теореме Пифагора для треугольника $SOB$ : $SB^2=SO^2+OB^2$ . Таким образом мы сможем найти высоту $SO$ , а затем высоту пирамиды.

Задача 18

Решение данной задачи состоит из двух частей: найти площадь основания пирамиды и высоту пирамиды. Площадь основания – это площадь правильного шестиугольника, ее можно найти по формуле 5 в разделе 17. Высоту пирамиды можно найти, если вспомнить, что $MH$ – радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности.

Задача 22

$M_1M_2\parallel BD\parallel M_3M_4$ , $M_1M_4\parallel AC\parallel M_2M_3$ , тогда раз $AC\perp BD$ (исходя из раздела 22),
то $M_1M_2 \perp M_1M_4$ . Поскольку, $M_1M_2\parallel M_3M_4$ , а $M_1M_4\parallel M_2M_3$ , а также
$M_1M_2 = M_3M_4=\frac{1}{2}BD$ , а $M_1M_4 = M_2M_3=\frac{1}{2}AC$ , то фигура является ромбом, а ромб с прямым углом – это квадрат.

Задача 23

Искомая фигура является октаэдром, площадь поверхности которого состоит из четырех пар равных треугольников.

Закрашенные грани октаэдра – это четверть соответствующей закрашенной грани тетраэдра. Поэтому площадь поверхности октаэдра – это $\frac{2}{4}$ каждой грани, то есть $\dfrac{1}{2}$ площади поверхности тетраэдра.

Задача 24

Переверните данную пирамиду так, чтобы она оказалась на основании $SBC$ .

Задача 25

$\angle SAH$ , $\angle SDH$ и $\angle SLH$ – это угла наклона граней $SAB$ , $SDC$ и $SBC$ к плоскости основания. Зная, что $SH=6$ , найдем $AH$ , $HD$ и $HL$ по теореме Пифагора. $HL=x$ , $SL=2x$ , тогда $6^2+x^2=(2x)^2$ , отсюда находим, что $x=2\sqrt{3}$ . А дальше уже можно найти площадь основания и объем.

Пирамида

— 5;
— 4;
— 6;
— 340;
— 360;
— 60;
— 96;
— 0,25;
— 4;
— 3;
— 24;
— 4;
— 256;
— 24;
— 13;
— 12;
— 7;
— 48;
— 4;
— 6,5;
— 0,25;
— 0,25;
— 6;
— 4,5;
— 48.