9 Правильный тетраэдр

*Также можно сказать, что правильный тетраэдр – это правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро равно ребру основания.

1. В правильном тетраэдре все грани равны, поэтому

S_{осн}=S_{бок. гр.}=\dfrac{1}{2}al=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}a\cdot a

S_{осн}=S_{бок гр.}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2

2. Площадь поверхности правильного тетраэдра – это сумма площадей всех граней.

S=4\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2=a^2\sqrt{3}

3. Высоту правильного тетраэдра можно найти по теореме Пифагора:

Рассмотрим $\triangle AOD$ :

h^2=a^2-\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=\dfrac{6a^2}{9}

h=\dfrac{\sqrt{6}a}{3}

4. Объем правильного тетраэдра находится по формуле

V=\dfrac{1}{3}S_{осн}\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\cdot \dfrac{\sqrt{6}}{3}a=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}