18 Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью

$\blacktriangleright$ Пример 1. Угол между боковым ребром $SA$ и основанием пирамиды: $SO$ – высота пирамиды; $AO$ – проекция ребра $SA$ ; $\angle SAO$ – угол между боковым ребром $SA$ и основанием.
$\blacktriangleright$ Пример 2. Угол между диагональю $C_1A$ и основанием куба: $CC_1\perp ABCD\ \Rightarrow \ CA$ – проекция $C_1A$ на основание $ABCD\ \Rightarrow\ \angle C_1AC$ – угол между диагональю куба и его основанием.
Вычислим величину угла $\angle C_1AC=\alpha$ . За обозначение стороны куба возьмём $x$ (для удобства вычисления). Рассмотрим $\triangle BAC$ – прямоугольный. Найдём сторону $CA$ из теоремы Пифагора: $CA^2=BC^2+BA^2 \Rightarrow CA^2=2x^2 \Rightarrow CA=x\sqrt{2}$ Рассмотрим $\triangle C_1CA$ – прямоугольный. $\tan{\alpha}=\dfrac{CC_1}{CA}=\dfrac{x}{x\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow$ $\Downarrow$ $\angle CAC_1=\angle \alpha = \arctan{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}.$
$\blacktriangleright$ Пример 3. $SABCD$ – правильная четырехугольная пирамида. $M$ – середина $SC$ . Угол между $BM$ и плоскостью $ABCD$ : $MH \perp ABCD$ $BH$ – проекция $BM$ на $ABCD$ $\angle MBH$ – угол между прямой $BM$ и плоскостью $ABCD$ .