1 Куб

Куб

1. Диагональ куба – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. $\triangle DBD_1$ – прямоугольный $\left(DD_1\perp BD\right)$ $D_1B^2=D_1D^2+BD^2$ $\triangle ABD$ – прямоугольный $\left(\angle BAD=90^{\circ}\right)$ $DB^2=AD^2+AB^2=a^2+a^2=2a^2$ Тогда $D_1B^2=D_1D^2+BD^2=a^2+2a^2=3a^2$ $d=\sqrt{3}a$
2. Диагональ грани куба – отрезок, соединяющий две вершины, лежащие в одной грани и не являющиеся ребром куба. $l^2=a^2+a^2=2a^2$ $l=a\sqrt{2}.$
3. Площадь поверхности куба – это сумма площадей всех граней. $S=6a^2$ 4. Объем куба находится по формуле $V=a^3$
5. Радиус вписанной в куб сферы $r=\dfrac{a}{2}$
6. Диагональ куба является диаметром описанной вокруг куба сферы. $R=\dfrac{d}{2}=\dfrac{\sqrt{3}a}{2}$

Куб

$\Longrightarrow$ Теория и пример решения

Задача 1

Объём куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

Для решения задачи используйте пункты 3 и 4 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 2

Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 3 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 3

Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объём.

Для решения задачи используйте пункты 3 и 4 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 4

Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 3 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 5

Диагональ куба равна $\sqrt{12}$ . Найдите его объём.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 4 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 6

Куб вписан в шар радиуса $\sqrt{3}$ . Найдите объём куба.

Для решения задачи используйте пункты 4 и 6 в разделе 1.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 7

Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если все его рёбра увеличить в 3 раза?

Для решения задачи используйте раздел 18.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 8

Во сколько раз увеличится объём куба, если все его ребра увеличить в три раза?

Для решения задачи используйте разделе 18.

$\Longrightarrow$ Решение подобной задачи

Задача 9

Объём куба равен $24\sqrt{3}$ . Найдите его диагональ.

Для решения задачи используйте пункты 1 и 4 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 10

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то площадь его поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

Для решения задачи используйте пункты 3 и 4 в разделе 1.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 11

Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объём увеличится на 19. Найдите ребро куба.

Для решения задачи используйте пункт 4 в разделе 1.

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 12

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AD_1$ и $B_1D_1$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Задача 13

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $K$ — середина ребра $AA_1$ , точка $L$ — середина ребра $A_1B_1$ , точка $M$ — середина ребра $A_1D_1$ . Найдите угол $MLK$ . Ответ дайте в градусах.

Подсказка

$\Longrightarrow$ Решение задачи

Куб

Задача 6

Куб вписан в шар, тогда радиус шара – это половина диагонали куба. Диагональ куба равна $2\sqrt{3}$ , тогда сторона, по формуле диагонали, равна 2, поэтому объем куба равен 8.

Задача 10

Пусть $a$ – сторона куба, тогда площадь поверхности исходного куба равна $6a^2$ , а площадь поверхности нового куба равна $6(a+1)^2=6a^2+54$ .

Задача 12

Задача 13

Куб

— 24;
— 2;
— 8;
— 3;
— 8;
— 8;
— 9;
— 27;
— 6;
— 4;
— 2;
— 60;
— 60.