Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2291

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь формулами Эйлера:

Задача 2291

∫0πsin⁡nxsin⁡x dx\displaystyle\int_0^\pi\frac{\sin nx}{\sin x}\,dx.
Ответ:∫0πsin⁡nxsin⁡x dx={π,n нечётное0,n чётное,n∈N\int_0^\pi\dfrac{\sin nx}{\sin x}\,dx
=\begin{cases}
\pi,&n\text{ нечётное}\\
0,&n\text{ чётное}
\end{cases},
\qquad n\in\mathbb NВ концах частное понимается через его конечные пределы.

Решение

Внутри (0,π)(0,\pi) знаменатель не равен нулю. Применим формулы Эйлера и конечную геометрическую сумму:sin⁡nxsin⁡x=einx−e−inxeix−e−ix==ei(n−1)x1−e−2inx1−e−2ix=∑k=0n−1ei(n−1−2k)x\begin{aligned}
\dfrac{\sin nx}{\sin x}
&=\dfrac{e^{inx}-e^{-inx}}{e^{ix}-e^{-ix}}=\\
&=e^{i(n-1)x}\dfrac{1-e^{-2inx}}{1-e^{-2ix}}=\sum_{k=0}^{n-1}e^{i(n-1-2k)x}
\end{aligned}Поясним использованную геометрическую сумму. При q=e−2ixq=e^{-2ix} и 0<x<π0<x<\pi имеем q≠1q\ne1. Умножая сумму на 1−q1-q, получаем(1−q)(1+q+⋯+qn−1)=1−qn(1-q)(1+q+\cdots+q^{n-1})=1-q^nПромежуточные степени сокращаются. Частоты в найденной сумме попарно противоположны; по формуле Эйлера каждая такая пара объединяется в косинус:eijx+e−ijx=2cos⁡jxe^{ijx}+e^{-ijx}=2\cos jxПостоянное слагаемое появляется только при нулевой частоте:n−1−2k=0⟺k=n−12n-1-2k=0\quad\Longleftrightarrow\quad k=\dfrac{n-1}{2}Такой целый индекс существует именно при нечётном nn; коэффициент соответствующего слагаемого равен 11. Это объясняет различие двух случаев.

Для нечётного и чётного nn соответственноsin⁡(2r+1)xsin⁡x=1+2∑j=1rcos⁡2jx,r⩾0\dfrac{\sin(2r+1)x}{\sin x}
=1+2\sum_{j=1}^{r}\cos2jx,
\qquad r\geqslant0sin⁡2rxsin⁡x=2∑j=1rcos⁡(2j−1)x,r⩾1\dfrac{\sin2rx}{\sin x}
=2\sum_{j=1}^{r}\cos(2j-1)x,
\qquad r\geqslant1Если r=0r=0, сумма в первой формуле пуста и равна нулю. Правые части непрерывны на [0,π][0,\pi] и задают продолжения исходных частных в концах. Предельные значения равныlim⁡x→0+sin⁡nxsin⁡x=nlim⁡x→π−sin⁡nxsin⁡x=(−1)n−1n\begin{aligned}
\lim_{x\to0^+}\dfrac{\sin nx}{\sin x}&=n\\
\lim_{x\to\pi^-}\dfrac{\sin nx}{\sin x}&=(-1)^{n-1}n
\end{aligned}При интегрировании любой косинус с ненулевой целой частотой даёт∫0πcos⁡jx dx=[sin⁡jxj]0π=0,j∈Z∖{0}\int_0^\pi\cos jx\,dx
=\left[\dfrac{\sin jx}{j}\right]_0^\pi=0,
\qquad j\in\mathbb Z\setminus\{0\}При нечётном nn остаётся интеграл от единицы, равный π\pi. При чётном nn постоянного слагаемого нет, и результат равен нулю.
Демидович № 2291 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика