Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2304

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти неопределённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

\displaystyle\int\operatorname{sgn}(\sin x)\,dx

Ответ:

\int\operatorname{sgn}(\sin x)\,dx =\arccos(\cos x)+C, \qquad x\in\mathbb R

Производная этого неопределённого интеграла существует при

x\notin\{k\pi:k\in\mathbb Z\}

Решение

Обозначим

G(x)=\int_0^x\operatorname{sgn}(\sin t)\,dt

На

(0,\pi)

синус положителен, а на

(\pi,2\pi)

отрицателен. Значения в отдельных точках

0,\pi,2\pi

не меняют интеграла. Поэтому на одном периоде

G(x)=\begin{cases} x,&0\leqslant x\leqslant\pi\\[4pt] \pi-(x-\pi)=2\pi-x,&\pi\leqslant x\leqslant2\pi \end{cases}

Интеграл за полный период равен

\pi-\pi=0

. Из периодичности подынтегральной функции следует, что интеграл по любому отрезку длины

2\pi

тоже равен нулю. Поэтому разность значений

G

в точках, отстоящих на период, равна

G(x+2\pi)-G(x) =\int_x^{x+2\pi}\operatorname{sgn}(\sin t)\,dt=0

Значит,

G(x+2\pi)=G(x)

для всех действительных

x

, включая отрицательные.

Функция

\arccos(\cos x)

имеет тот же период. Основная ветвь

\arccos

принимает значения в

[0,\pi]

, поэтому на

[0,\pi]

она возвращает

x

.

На

[\pi,2\pi]

используем

\cos x=\cos(2\pi-x)

: угол

2\pi-x

уже лежит в

[0,\pi]

, и арккосинус возвращает именно его. Следовательно, она совпадает с

G

на одном периоде, а по периодичности — на всей прямой. Вне точек

k\pi

можно также проверить производную:

\dfrac{d}{dx}\arccos(\cos x) =\dfrac{\sin x}{\sqrt{1-\cos^2x}} =\dfrac{\sin x}{|\sin x|} =\operatorname{sgn}(\sin x)

В каждой точке

k\pi

k\in\mathbb Z

, соседние наклоны равны

1

-1

в некотором порядке. Функция там непрерывна, но не дифференцируема.