Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2303

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти неопределённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

Задача 2303

∫sgn⁡x dx\displaystyle\int\operatorname{sgn}x\,dx.
Ответ:∫sgn⁡x dx=∣x∣+C\int\operatorname{sgn}x\,dx=|x|+CЭто непрерывный неопределённый интеграл; его производная равна подынтегральной функции при x≠0x\ne0 и не существует при x=0x=0.

Решение

В этом разделе неопределённый интеграл ограниченной разрывной функции понимается как непрерывная функцияC+∫0xf(t) dtC+\int_0^x f(t)\,dtВ точках непрерывности ff её производная равна ff, а точки разрыва проверяются отдельно. Вычислим интеграл от sgn⁡t\operatorname{sgn}t по обе стороны от нуля:∫0xsgn⁡t dt={∫0x1 dt=x,x>00,x=0−∫x0(−1) dt=−x,x<0\int_0^x\operatorname{sgn}t\,dt
=\begin{cases}
\displaystyle\int_0^x1\,dt=x,&x>0\\[4pt]
0,&x=0\\[4pt]
\displaystyle-\int_x^0(-1)\,dt=-x,&x<0
\end{cases}При x<0x<0 знак минус появляется из-за перестановки пределов интегрирования. Все три случая объединяются в ∣x∣|x|. Полученная функция непрерывна, и её производная при x≠0x\ne0 равна sgn⁡x\operatorname{sgn}x. В нуле производная слева равна −1-1, а справа — 11, поэтому обычной производной нет.
Демидович № 2303 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика