Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2307

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти неопределённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

Задача 2307

∫(−1)[x] dx\displaystyle\int(-1)^{[x]}\,dx.
Ответ:∫(−1)[x] dx=1−(−1)k2+(−1)k(x−k)+C,k=[x],x∈R\int(-1)^{[x]}\,dx
=\dfrac{1-(-1)^k}{2}+(-1)^k(x-k)+C,
\qquad k=[x],\quad x\in\mathbb RНеопределённый интеграл непрерывен и имеет период 22; его производная не существует в целых точках.

Решение

ОбозначимG(x)=∫0x(−1)[t] dtG(x)=\int_0^x(-1)^{[t]}\,dtЦелая часть [t][t] — это наибольшее целое число, не превосходящее tt, в том числе при отрицательных tt: например, [−12]=−1[-\frac12]=-1. На промежутках [2j,2j+1)[2j,2j+1) подынтегральная функция равна 11, а на [2j+1,2j+2)[2j+1,2j+2) равна −1-1, где j∈Zj\in\mathbb Z.

Функция (−1)[t](-1)^{[t]} имеет период 22, поскольку [t+2]=[t]+2[t+2]=[t]+2. Её интеграл за период равен 1−1=01-1=0, поэтому G(x+2)=G(x)G(x+2)=G(x) на всей прямой. На основном отрезке непосредственно получаемG(x)={x,0⩽x⩽11−(x−1)=2−x,1⩽x⩽2G(x)=\begin{cases}
x,&0\leqslant x\leqslant1\\[4pt]
1-(x-1)=2-x,&1\leqslant x\leqslant2
\end{cases}Чтобы записать результат для любого, в том числе отрицательного, xx, положимk=[x],y=x−k,0⩽y<1k=[x],\qquad y=x-k,\qquad 0\leqslant y<1При чётном kk периодичность переносит xx в точку yy основного периода, а при нечётном — в точку 1+y1+y. ПоэтомуG(x)={y,k чётно1−y,k нечётноG(x)=\begin{cases}
y,&k\text{ чётно}\\[4pt]
1-y,&k\text{ нечётно}
\end{cases}Эти два случая объединяет выражениеG(x)=1−(−1)k2+(−1)k(x−k),k=[x]G(x)=\dfrac{1-(-1)^k}{2}+(-1)^k(x-k),
\qquad k=[x]При чётном kk первое слагаемое равно нулю, а второе равно yy; при нечётном первое равно 11, а второе равно −y-y. В целых точках соседние формулы соединяются непрерывно, но их наклоны имеют противоположные знаки. Поэтому в этих точках производной нет; вне целых точек она равна (−1)[x](-1)^{[x]}.