Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2283

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра

n

, принимающего целые положительные значения:

\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/4}\tg^{2n}x\,dx

Ответ:

I_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{n-k}}{2k-1} +(-1)^n\dfrac\pi4, \qquad n\in\mathbb N

Решение

На

[0,\frac\pi4]

тангенс непрерывен и возрастает от

0

до

1

. Положим

t=\tg x, \qquad x=\arctg t, \qquad dx=\dfrac{dt}{1+t^2}

Для понижения степени в числителе выделим множитель, связанный со знаменателем:

t^{2n}=t^{2n-2}t^2 =t^{2n-2}\bigl((1+t^2)-1\bigr)

После деления на

1+t^2

новая запись интеграла и нужное разложение имеют вид

\begin{gathered} I_n=\int_0^1\dfrac{t^{2n}}{1+t^2}\,dt\\ \dfrac{t^{2n}}{1+t^2} =t^{2n-2}-\dfrac{t^{2n-2}}{1+t^2}\end{gathered}

Первое слагаемое является обычной степенью, а интеграл второго слагаемого в точности равен

I_{n-1}

. Интегрируя, получаем требуемое понижение индекса:

I_n=\dfrac1{2n-1}-I_{n-1}, \qquad n\geqslant1

Для завершения цепочки используем вспомогательное значение

I_0=\int_0^1\dfrac{dt}{1+t^2}=\dfrac\pi4

На каждом следующем шаге индекс уменьшается на

1

, а знак перед оставшимся интегралом меняется. Например, при

n\geqslant2

I_n=\dfrac1{2n-1}-\left(\dfrac1{2n-3}-I_{n-2}\right)

Продолжая до

I_0

, получаем конечную сумму. До слагаемого с индексом

k

происходит

n-k

смен знака, а до начального значения

I_0

—

n

смен. Поэтому соответствующие слагаемые имеют вид

\dfrac{(-1)^{n-k}}{2k-1},\qquad k=1,2,\ldots,n, \qquad (-1)^nI_0=(-1)^n\dfrac\pi4