Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2293

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Пользуясь формулами Эйлера:

\displaystyle\int_0^\pi\cos^nx\cos nx\,dx

Ответ:

\dfrac\pi{2^n}, \qquad n\in\mathbb N

Решение

Обозначим искомый интеграл через

I

. Для раскрытия степени используем коэффициенты бинома

\binom nk=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},\qquad k=0,1,\ldots,n

По формулам Эйлера и биному

\begin{aligned} \cos^nx&=\dfrac1{2^n}\sum_{k=0}^{n}\binom nk e^{i(n-2k)x}\\ \cos nx&=\dfrac{e^{inx}+e^{-inx}}2\end{aligned}

Поясним показатель

n-2k

в первой сумме. Из

n

множителей выбираются

k

выражений

e^{-ix}

n-k

выражений

e^{ix}

; число таких выборов равно

\binom nk

. Их произведение имеет вид

(e^{ix})^{n-k}(e^{-ix})^k=e^{i(n-k)x-ikx}=e^{i(n-2k)x}

Перемножим две формулы Эйлера. При умножении этого слагаемого на

e^{inx}

и на

e^{-inx}

получаются частоты

2(n-k)

-2k

\cos^nx\cos nx =\dfrac1{2^{n+1}}\sum_{k=0}^{n}\binom nk \left(e^{2i(n-k)x}+e^{-2ikx}\right)

Для ненулевого целого

j

интеграл каждой такой экспоненты по

[0,\pi]

равен нулю:

\int_0^\pi e^{2ijx}\,dx =\left[\dfrac{e^{2ijx}}{2ij}\right]_0^\pi=0

Это следует из

e^{2ij\pi}=1

. Постоянных слагаемых ровно два: в первой экспоненте при

k=n

и во второй при

k=0

. У обоих коэффициент бинома равен

1

, а интеграл от единицы равен

\pi

. Поэтому

I=\dfrac1{2^{n+1}}(\pi+\pi)=\dfrac\pi{2^n}