Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2305

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти неопределённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

\displaystyle\int[x]\,dx

(x\ge0)

Ответ:

\int[x]\,dx=kx-\dfrac{k(k+1)}2+C, \qquad k=[x],\quad x\geqslant0

Производная равна

[x]

при положительных нецелых

x

; в положительных целых точках она не существует. В нуле правая производная равна

0

Решение

Положим

k=[x]

, где

[x]

— наибольшее целое число, не превосходящее

x

. При

x\geqslant0

имеем

k=0,1,2,\ldots

k\leqslant x<k+1

. На каждом промежутке

[j,j+1)

функция

[t]

равна постоянной

j

. Разобьём интеграл от нуля до

x

на полные единичные отрезки и последний отрезок от

k

до

x

\begin{aligned} \int_0^x[t]\,dt &=\sum_{j=0}^{k-1}\int_j^{j+1}j\,dt+\int_k^x k\,dt=\\ &=\sum_{j=0}^{k-1}j+k(x-k)\end{aligned}

При

k\geqslant1

обозначим оставшуюся сумму через

S

. Запишем её в прямом и обратном порядке:

\begin{aligned} S&=\sum_{j=0}^{k-1}j\\ S&=\sum_{j=0}^{k-1}(k-1-j)\end{aligned}

Складывая соответствующие слагаемые двух записей, получаем

k

пар, каждая с суммой

k-1

. Поэтому

2S=k(k-1),\qquad S=\dfrac{k(k-1)}2

Подставляем найденную сумму в интеграл:

\int_0^x[t]\,dt =\dfrac{k(k-1)}2+k(x-k) =kx-\dfrac{k(k+1)}2

При

k=0

сумма пустая и равна нулю, так что формула охватывает и

0\leqslant x<1

. На каждом открытом промежутке

(k,k+1)

число

k=[x]

фиксировано, поэтому при дифференцировании выражения

kx-\frac{k(k+1)}2

получаем

k=[x]

.

При переходе через целую точку нужно уже использовать соседнюю формулу с другим значением

k

. Значения подынтегральной функции в целых точках не влияют на интеграл. При

x=k\geqslant1

формулы соседних промежутков дают одинаковое значение

\frac{k(k-1)}2

, поэтому неопределённый интеграл непрерывен. Его наклон слева от

k

равен

k-1

, а справа —

k

, и производной в положительных целых точках нет.