Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2311

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

\displaystyle\int_0^6[x]\sin\frac{\pi x}6\,dx

Ответ:

\dfrac{30}{\pi}

Решение

Обозначение

[x]

означает целую часть числа. При целом

k

её значение постоянно на промежутке:

k\le x<k+1\quad\Longrightarrow\quad[x]=k

Поэтому разбиваем отрезок на шесть частей:

I=\sum_{k=0}^{5}k\int_k^{k+1}\sin\dfrac{\pi x}{6}\,dx

Значения функции в отдельных точках разбиения не влияют на интеграл. Первообразная синуса имеет вид

-\dfrac6\pi\cos\dfrac{\pi x}{6}

Поэтому получаем

\begin{aligned} I &=\dfrac6\pi\sum_{k=0}^{5} k\left(\cos\dfrac{\pi k}{6}-\cos\dfrac{\pi(k+1)}6\right)=\\ &=\dfrac6\pi\left(\sum_{j=1}^{5}\cos\dfrac{\pi j}{6} -5\cos\pi\right)\end{aligned}

Во втором равенстве сгруппированы слагаемые с одинаковым косинусом. При каждом внутреннем индексе его коэффициент равен

j-(j-1)=1,\qquad 1\le j\le5

Косинусы с индексами

j

6-j

имеют противоположные значения:

\cos\dfrac{\pi(6-j)}6 =\cos\left(\pi-\dfrac{\pi j}6\right) =-\cos\dfrac{\pi j}6

Поэтому пары с индексами

1,5

2,4

сокращаются, а оставшийся член с индексом

3

равен

\cos\frac\pi2=0

. Следовательно,

I=\dfrac6\pi(0+5)=\dfrac{30}{\pi}