Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2313

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Вычислить определённые интегралы от ограниченных разрывных функций:

Задача 2313

∫1n+1ln⁡[x] dx\displaystyle\int_1^{n+1}\ln[x]\,dx, где nn --- натуральное число.
Ответ:ln⁡(n!),n=1,2,…\ln(n!),\qquad n=1,2,\ldots

Решение

На промежутке k≤x<k+1k\le x<k+1, где k=1,…,nk=1,\ldots,n, целая часть [x][x] равна kk. Подынтегральная функция там постоянна и равна ln⁡k\ln k. Разбивая отрезок в целых точках, получаемI=∑k=1n∫kk+1ln⁡k dx=∑k=1nln⁡k==ln⁡(1⋅2⋯n)=ln⁡(n!)\begin{aligned}
I
&=\sum_{k=1}^{n}\int_k^{k+1}\ln k\,dx
=\sum_{k=1}^{n}\ln k=\\
&=\ln(1\cdot2\cdots n)=\ln(n!)
\end{aligned}Значение функции в правом конце x=n+1x=n+1 не меняет интеграл. При n=1n=1 формула также верна: интеграл и ln⁡(1!)\ln(1!) равны нулю.
Демидович № 2313 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика