Раздел IV. Определённый интеграл — § 2. Вычисление определённых интегралов с помощью неопределённых

Демидович — задача 2296

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие, подробное решение и ответ.

Найти интегралы (nn --- натуральное число):

Задача 2296

∫0πcos⁡n−1xsin⁡(n+1)x dx\displaystyle\int_0^\pi\cos^{n-1}x\sin(n+1)x\,dx.
Ответ:0,n∈N0,
\qquad n\in\mathbb N

Решение

Раскроем синус суммы, чтобы увидеть подходящую производную:cos⁡n−1xsin⁡((n+1)x)=cos⁡n−1xsin⁡xcos⁡nx+cos⁡nxsin⁡nx\cos^{n-1}x\sin((n+1)x)
=\cos^{n-1}x\sin x\cos nx+\cos^nx\sin nxЗдесь cos⁡n−1xsin⁡x=−1n(cos⁡nx)′\cos^{n-1}x\sin x=-\frac1n(\cos^nx)' и sin⁡nx=−1n(cos⁡nx)′\sin nx=-\frac1n(\cos nx)'. Следовательно, подынтегральная функция должна быть равна −1n-\frac1n производной произведения cos⁡nxcos⁡nx\cos^nx\cos nx. Проверим это:ddx(cos⁡nxcos⁡nx)=−ncos⁡n−1xsin⁡xcos⁡nx−ncos⁡nxsin⁡nx==−ncos⁡n−1x(sin⁡xcos⁡nx+cos⁡xsin⁡nx)==−ncos⁡n−1xsin⁡((n+1)x)\begin{aligned}
\dfrac d{dx}\bigl(\cos^nx\cos nx\bigr)
&=-n\cos^{n-1}x\sin x\cos nx-n\cos^nx\sin nx=\\
&=-n\cos^{n-1}x\bigl(\sin x\cos nx+\cos x\sin nx\bigr)=\\
&=-n\cos^{n-1}x\sin((n+1)x)
\end{aligned}Здесь использована формула синуса суммы. Поэтому первообразной исходной функции являетсяF(x)=−1ncos⁡nxcos⁡nxF(x)=-\dfrac1n\cos^nx\cos nxПри x=0x=0 произведение косинусов равно 11. При x=πx=\pi оно также равно 11, посколькуcos⁡nπcos⁡nπ=(−1)n(−1)n=1\cos^n\pi\cos n\pi=(-1)^n(-1)^n=1Следовательно,∫0πcos⁡n−1xsin⁡((n+1)x) dx=−1n[cos⁡nxcos⁡nx]0π=−1n(1−1)=0\int_0^\pi\cos^{n-1}x\sin((n+1)x)\,dx
=-\dfrac1n\bigl[\cos^nx\cos nx\bigr]_0^\pi
=-\dfrac1n(1-1)=0
Демидович № 2296 — решение и ответ | Высшая математика — Профиматика